18/03/2021
تقدير تباين خط الانحدار
تقدير تباين خط الانحدار Estimate of the Variance of the Regression Line
نستعمل معادلة الانحدار لتقدير قيم Y الفعلية بقيم Ŷ المقدرة للحكم على جودة التقدير بمعرفة مدى مطابقة خط الانحدار على نقاط لوحة الانتشار وذلك بحساب كل من مجموع المربعات الكلي SST ، مجموع المربعات للانحدار SSR ، مجموع المربعات للأخطاء SSE ومنها نحسب تقدير تباين خط الانحدار حيث أن:
مجموع المربعات الكلي SST) Sum of Squares) مثال معامل التحديد الخطأ المعياري لميل الانحدار اختبار فرضية التوزيع الطبيعي
مقياس لتشتت القيم الفعلية حول وسطها الحسابي Y` حيث أن:
SST = ∑ (Yi –`Y )2 Or SST = ∑Y2 – n`Y2
إذا قسمنا SST على درجات الحرية n – 1 نحصل على تقدير للتباين الكلي لقيم Y عن Y`
مجموع المربعات للانحدار SSR) Sum of Squares for Regression)
مجموع مربعات التباين المفسر بواسطة Ŷ = a + b x بين قيم المتغير المستقل والمتغير التابع.
SSR = ∑ (Ŷi –`Y )2 Or SSR = b2[∑xi2 – n`X2] = b[∑xiYi – n`x`Y]
نحصل على قيم Ŷ بالتعويض عن قيمة x في معادلة خط الانحدار ، SSR هو تقدير تباين قيم Ŷ عن الوسط الحسابي لقيم Y الفعلية.
مجموع المربعات للانحدار SSE) Sum of Squares for Errors)
هو عبارة عن مقياس التشتت للقيم الفعلية حول خط الانحدار ويعرف بمجموعات مربعات البواقي.
SSE = ∑ (Y –`Y )2
وهي مجموع مربعات الانحرافات لقيم Y الفعلية عن قيم Y المقدرة.
تباين الخطأ العشوائي:
هو تقدير تباين خط انحدار Y على x ويحسب من الصيغة الرياضية (S2Y/x)
SSE ∑ (Y –`Y )2
S2Y/x = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
(n – 2) (n – 2)s
الخطأ المعياري لتقدير خط انحدار Y على x هو قيمة الجذر التربيعي لهذا التقدير.
يمكن تكوين جدول تحليل التباين للانحدار كالتالي:
| F المحتسبة | MS | d f | SS | مصدر التغير |
μSx / S2Y/x OR MSR / MSE | MSR =μSx = SSR / 1 | 1 | ∑ ( Ŷi –`Y )2 | مجموع المربعات بسبب الانحدار SSR |
MSE = S2Y/x = SSE / (n – 2) | n – 2 | ∑ ( Yi – Ŷ )2 | مجموع مربعات الانحرافات عن الانحدار(البواقي) SSE | |
| n – 1 | ∑ ( Yi –`Y )2 | مجموع المربعات الكلي SST |
مثال: كون جدول تحليل التباين للانحدار من الجدول الآتي:
الجدول الآتي يبين إنتاج محصول الذرة Y من المساحة المزروعة به X . اختبر معنوية معامل الانحار عند مستوى معنوية 0.05
| Y إنتاج الذرة بالآف الكيلوجرام | X المساحة المزروعة بالهكتار | المنطقة |
| 140 | 50 | 1 |
| 500 | 200 | 2 |
| 400 | 110 | 3 |
| 300 | 80 | 4 |
| 356 | 120 | 5 |
| 240.5 | 74.5 | 6 |
| 200.6 | 88.9 | 7 |
| 33.5 | 5.7 | 8 |
| 69.8 | 11 | 9 |
| 18.7 | 3.2 | 10 |
الحل:
الفرضية الصفرية H0 : β = 0
الفرضية البديلة H1 : β ≠ 0
نكون جدول جديد للحصول على البيانات اللازمة لحساب المطلوب:
XY | X2 | Y2 | Y | X | المنطقة |
| 7000 | 2500 | 19600 | 140 | 50 | 1 |
| 100000 | 40000 | 250000 | 500 | 200 | 2 |
| 44000 | 12100 | 160000 | 400 | 110 | 3 |
| 24000 | 6400 | 90000 | 300 | 80 | 4 |
| 42720 | 14400 | 126736 | 356 | 120 | 5 |
| 17917.25 | 5550.25 | 57840.25 | 240.5 | 74.5 | 6 |
| 17833.34 | 7908.21 | 40240.36 | 200.6 | 88.9 | 7 |
| 190.95 | 32.49 | 1122.25 | 33.5 | 5.7 | 8 |
| 767.8 | 121 | 4872.04 | 69.8 | 11 | 9 |
| 59.84 | 10.24 | 349.69 | 18.7 | 3.2 | 10 |
| 254489.2 | 89017.19(2259.1) | 750760.6 | 2259.1 | 743.3 | Total |
| `Y2 = 51035.3281 | `Y = 225.91 | `X = 74.33 | المتوسط |
باستخدام الصيغ الرياضية نجد أن:
SST = ∑Y2 – n`Y2
= 750760.6 – 10 × 51035.3281
= 750760.6 – 5103.533
= 745657.067
SSR = b[∑xiYi – n`x`Y]
= 2.564[254489.2 – 10 × 74.33 × 225.91]
= 2.564[254489.2 – 167918.903]
= 221966.242
SSE = SST – SSR
= 745657.067 – 221966.242
= 523690.825
| F الجدولية | F المحتسبة | MS | d f | SS | مصدر التغير |
| F0.05,1,9 = 5.12 | 3.391 | μSx = 221966.242 | 1 | 221966.242 | مجموع المربعات بسبب الانحدار SSR |
S2Y/x = 65461353 | 10 – 2 | 523690.825 | مجموع مربعات الانحرافات عن الانحدار SSE | ||
10 – 1 | 745657.067 | مجموع المربعات الكلي SST |
ومن حيث F المحتسبة أقل من F الجدولية فنقبل الفرضية الصفرية H0 ونستدل منها على خطية معادلة الانحدار Y = 35.35 + 2.564 X (يراجع المثال) وحال مقاربة أو مساواة β للصفر تكون المعادلة محدودة الكفاءة بقصد التوقع ولذا نبني نموذج غير خطي لوصف العلاقة بين X , Y من خلال إيجاد معامل التحديد (R2) الذي تبين قيمته قوة أو ضعف تفسير التباين بابتعاد قيم Yi عن خط انحدار Ŷ .
R2 = SSR ÷ SST = 221966.242 ÷ 745657.067 = 0.298
يستدل من قيمة معامل التحديد ضعف تفسير التباين.
معامل التحديد The Coefficient of Determination
معامل التحديد ورمزه R2 هو قياس وصفي لتفسير الفائدة لمعادلة الانحدار بتقدير القيم ويمثل نسبة انخفاض الأخطاء حال استخدام معادلة الانحدار عوضاً عن استخدام المتوسطات كذلك هو نسبة التباين في القيم الفعلية التي تفسر خط الانحدار وقيمة النسبة هذه SSR / SST حيث أن SSR = SST – SSE إلا أن تأثيره قليل جداً وقيمته بين – 1 ، 1 واقتراب القيمة من 1 يعني فائدة أكثر لمعادلة الانحدار بالتنبؤ لقيمة المتغير التابع وكذلك يكون المتغير المستقل ذو أهمية في تفسير التباين بين القيم الفعلية والشكل التالي يبين مكونات الانحدار الخطي:
من الشكل القيمة الفعلية Yi تنحرف عن خط الوسط Y`بمسافة رأسية تساوي Yi –`Y في حين تنحرف عن خط القيمة المقدرة Ŷ مسافة رأسية Yi – Ŷ
انحراف القيمة المقدرة Ŷ عن خط الوسط Y`يعرف بالانحراف المفسر في حين انحراف القيمة الفعلية (المشاهدة) ن خط الوسط Y`يعرف بالانحراف غير المفسر.
ومن الشكل نجد أن: مجموع الانحرافات = الانحراف المفسر + الانحراف غير المفسر
كما يمكن استخدام الصيغ التالية لحساب كل من SST , SSR , SSE السابق ذكرها أعلاه:
SST = ∑Yi 2 – (∑Yi)2 / n
SSR = b2[∑Xi2 – (∑Xi)2 / n]
SSE = SST – SSR
جدول تحليل التباين للانحدار
| F المحتسبة | MS | d f | SS | مصدر التغير أو مصدر التباين |
μSx / S2Y/x OR MSR / MSE | MSR =μSx = SSR / 1 | 1 | ∑ ( Ŷi –`Y )2 | مجموع المربعات بسبب الانحدار SSR |
MSE = S2Y/x = SSE / (n – 2) | n – 2 | ∑ ( Yi – Ŷ )2 | مجموع مربعات الانحرافات عن الانحدار(البواقي) SSE | |
| n – 1 | ∑ ( Yi –`Y )2 | مجموع المربعات الكلي SST |
الخطأ المعياري لميل الانحدار Standard Error of Regression Slop
في خط الانحدار Y = a + b X الذي ميله b حيث تتراوح قيمته حول قيم المجتمع β ولقياس هذا الانحراف فنقيس الخطأ المعياري لميل الانحدار ويرمز له بالرمز Sb ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية حيث Se2 تباين الخطأ العشوائي وهو ثابت لقيم X أو SY/x:
ففي مثالنا السابق نجد أن الخطأ لميل الانحدار(Y = 35.35 + 2.564 X) :
اختبار فرضية التوزيع الطبيعي لمعطيات نموذج الانحدار
يمكن استخدام أحصاءة t لهذا الاختبار والذي صيغته T = (b –β)/Sb مع درجات حرية (n –2) ونبحث الفرضية عند مستوى معنوية α ومقارنة T مع t الجدولية:
الفرضية الصفرية H0 : ß = 0
الفرضية البديلة H1 : ß ≠ 0
ويتم رفض الفرضية الصفرية إذا كان: T ≥ t (n – 2, α/2) or T ≥ –t (n – 2, α/2)s والقيمة صفر تعني لا فرق بين المتغيرات والاختبار هنا ذو طرفين، وبتطبيق ذلك على مثالنا السابق عند مستوى معنوية 0.05 نجد أن:
t0.05,8 = 2.306
T = (b –β)/Sb , ß = 0
= 2.564 / 0.261
= 9.824
> 2.306
نرفض الفرضية الصفرية ونقبل بالفرضية البديلة والدالة على أن قيمة ميل المجتمع تدل على أن معامل الانحدار يختلف عن الصفر
الانحدار غير الخطي البسيط الانحدار غير الخطي المتعدد
الانحدار غير الخطي البسيط Non Linear Regression الانحدار غير الخطي المتعدد
ذكرنا سابقاً الانحدار الخطي وصورته Y = α + βX وأوجدنا قيم الثوابت وهنا سنبين المعادلة لمنحنى بدل من معادلة الخط المستقيم السابق ذكرها ويعود السبب لمعادلة المنحنى على شكل الانتشار أو نتيجة لخبرة سابقة بأن المتغيرات الموجودة لدينا وهي محل الدراسة علاقات غير الخطية وغالباً تكون في الظواهر الاقتصادية كعلاقة معدل الكلفة بكمية الإنتاج Y = a + b X + c X2 وهي معادلة من الدرجة الثانية حيث a, b , c قيم ثابتة وتعرف بعلاقة الانحدار ألتربيعي والهدف الحصول على أفضل خط انحدار سواء كان خطي أو غير خطي والأفضلية بدءاً للخط المستقيم وإلا نقوم بإضافة تربيع أو تكعيب المتغير المستقل X وإن كنا نعلم مسبقاً بأن المتغيرات لدينا ذات علاقة تربيعية مثلاً فنبدأ باحتسابها وسنتعرض هنا للانحدار غير الخطي البسيط والمتعدد.
الانحدار غير الخطي البسيط Simple Non-Linear Regression
سبق دراسة الانحدار الخطي البسيط Y = a + b X وحسبنا a, b من:
ويختلف غير الخطي البسيط عن الخطي البسيط فيما يلي:
المعامل a الثابت ليس حداً ( كما في Y = a + b X) فظهر بالصورة Y = aXb يمكن تحويلها لخطية (لوغاريتم) أو Y = a bx يمكن تحويلها لخطية (لوغاريتم) أو كمعادلة لوغاريتمي Y = a + LinX كما يمكن بتحويلها لخطية بتغير تعريف المتغيرات فمثلاً Y = aXb بأخذ لوغاريتم الطريفين نحصل على LinY = Lina + b LinX وذلك حسب قوانين الأسس وبوضع LinY = Y , Lina = a , LinX = X نحصل على المعادلة المرادفة Y = a + bX وبالتالي نحسب قيم a , b من:
ويمكن تقدير المتغير بإعادة تعريف المتغيرات كما في المعادلة Y = a + b/X أي Y = a + b(1/x)s وهنا نستخدم نفس القوانين السابقة بوضع s1/X بدل من X أي:
ويمكن تقدير المتغير بإعادة تعريف المتغيرات كالمعادلة Y = a + b LinX وتعرف بالمعادلة نصف اللوغاريتمية باستبدال LinX بدل من s1/X في الصيغ السابقة أي:
مثال:
الجدول التالي يبين استهلاك 10 عائلات من اللحوم بالكيلوجرام (Y) ومعدل دخلها الشهري بالدينار X والمطلوب تقدير معادلات الانحدار لاستهلاك اللحوم بدلالة الدخل الشهري ثم قدر استهلاك اللحم لعائلة معدل دخلها 250 دينار باستخدام كل من المعادلات المطلوبة.
1) المعادلة الأسية Y = aX b
2) المعادلة العكسية Y = a + b(1/x)s
3) المعادلة نصف اللوغاريتمية Y = a + LinX
4) المعادلة الأسية μy/x = C Dx
| 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | العائلة |
| 300 | 270 | 220 | 200 | 250 | 260 | 255 | 290 | 300 | 250 | الدخل الشهري بالدينار |
| 60 | 50 | 40 | 40 | 55 | 50 | 52 | 44 | 42 | 45 | الاستهلاك بالكيلوجرام |
1) Y = aX b نحولها لمعادلة لوغاريتمية يأخذ اللوغاريتم للطرفين فنحصل على:
LinY = Lin(aX b) = Lin a + Lin(X b) = Lin a + b LinX Then
LinY = Lin a + b LinX
نكون الجدول الشامل للبيانات أعلاه كما يلي
| LinX LinY | LinY | LinX | LinX2 | X2 | الاستهلاك بالكيلوجرام(Y) | الدخل الشهري بالدينار(X) | العائلة |
| 21.0183 | 3.8067 | 5.5215 | 11.0429 | 62500 | 45 | 250 | 1 |
| 21.3189 | 3.7377 | 5.7038 | 11.4076 | 90000 | 42 | 300 | 2 |
| 21.4559 | 3.7842 | 5.6699 | 11.3398 | 84100 | 44 | 290 | 3 |
| 21.8949 | 3.9512 | 5.5413 | 11.0825 | 65025 | 52 | 255 | 4 |
| 21.7535 | 3.9210 | 5.5607 | 11.1214 | 67600 | 50 | 260 | 5 |
| 22.1263 | 4.0073 | 5.5215 | 11.0429 | 62500 | 55 | 250 | 6 |
| 19.5449 | 3.6889 | 5.2983 | 10.5966 | 40000 | 40 | 200 | 7 |
| 19.8964 | 3.6889 | 5.3936 | 10.7873 | 48400 | 40 | 220 | 8 |
| 21.9012 | 3.9120 | 5.5984 | 11.1968 | 72900 | 50 | 270 | 9 |
| 23.3533 | 4.0943 | 5.7038 | 11.4076 | 90000 | 60 | 300 | 10 |
| 214.2635 | 38.5832 | 55.5127 | 111.0254 | 478 | 2595 | Total |
نحسب b , a من الصيغ السابقة
10(214.2635) – (55.5127)(38.5832)
b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10(111.0254) – (55.5127)2
2142.635 – 2141.8576
b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1110.254 – 3081.6600
0.7774
b = ــــــــــــــــــــــــــــ
– 1971.406
b = – 0.00039 ≈ – 0.0004
38.5832 – (– 0.0004)55.5127)
Lina = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
38.5832 + 0.0222
Lina = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
Lina = 3.8605
a = e3.8605
a = 47.4891 ≈ 47.5
Y = 47.5X– 0.0004 Or LinY = 1.6767 – 0.0004LinX (lin(47.5 = 1.6767)
والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:
Y = 47.5X– 0.0004
Y = 47.5(250)– 0.0004
Y = 47.5 × 0.9978
Y = 47.3955 ≈ 47
Or
LinY = 1.6767 – 0.0004LinX
LinY = 1.6767 – 0.0004Lin(250)
LinY = 1.6767 – 0.0004× 2.3979
LinY = 1.6767 – 0.0010
LinY = 1.6757
Y = 47.3915 ≈ 47
2) الحل باستخدام المعادلة العكسية:Y = a + b(1/x)s نعوض في الصيغ المبينة أسفل الجدول التالي:
(1/X)2 | (1/X)Y | 1 / X | الاستهلاك بالكيلوجرام(Y) | الدخل الشهري بالدينار(X) | العائلة |
| 0.000016 | 0.18000 | 0.00400 | 45 | 250 | 1 |
| 0.000011 | 0.14000 | 0.00333 | 42 | 300 | 2 |
| 0.000012 | 0.15172 | 0.00345 | 44 | 290 | 3 |
| 0.000015 | 0.20392 | 0.00392 | 52 | 255 | 4 |
| 0.000015 | 0.19231 | 0.00385 | 50 | 260 | 5 |
| 0.000016 | 0.22000 | 0.00400 | 55 | 250 | 6 |
| 0.000025 | 0.20000 | 0.00500 | 40 | 200 | 7 |
| 0.000021 | 0.18182 | 0.00455 | 40 | 220 | 8 |
| 0.000014 | 0.18519 | 0.00370 | 50 | 270 | 9 |
| 0.000011 | 0.20000 | 0.00333 | 60 | 300 | 10 |
| 0.000156 | 1.85496 | 0.03913 | 478 | 2595 | Total |
10(1.85496) – (0.03913)(478)
b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10(0.000156) – (0.03913)2
18.5496 – 18.70414
b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
0.00156 – 0.001531
– 0.15454
b = ــــــــــــــــــــــــــــ
0.00003
b = – 5151.3 ≈ – 5151
478 – ( – 5151.3 × 0.03913)
a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
478 + 201.57
a = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
a = 67.957 ≈ 68
والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:
Y = 67.957 – 5151.3(1/x)s
Y = 67.957 – (5151.3 ÷ 250)
Y = 67.957 – 20.605
Y = 47.352 ≈ 47.4
3) الحل باستخدام المعادلة نصف اللوغاريتمية:Y = a + b LinXs نعوض في الصيغ المبينة أسفل الجدول التالي:
Y LinX | LinX | LinX2 | X2 | الاستهلاك بالكيلوجرام(Y) | الدخل الشهري بالدينار(X) | العائلة |
| 248.4657 | 5.5215 | 11.0429 | 62500 | 45 | 250 | 1 |
| 239.5589 | 5.7038 | 11.4076 | 90000 | 42 | 300 | 2 |
| 249.4748 | 5.6699 | 11.3398 | 84100 | 44 | 290 | 3 |
| 288.1457 | 5.5413 | 11.0825 | 65025 | 52 | 255 | 4 |
| 278.0341 | 5.5607 | 11.1214 | 67600 | 50 | 260 | 5 |
| 303.6804 | 5.5215 | 11.0429 | 62500 | 55 | 250 | 6 |
| 211.9327 | 5.2983 | 10.5966 | 40000 | 40 | 200 | 7 |
| 215.7451 | 5.3936 | 10.7873 | 48400 | 40 | 220 | 8 |
| 279.9211 | 5.5984 | 11.1968 | 72900 | 50 | 270 | 9 |
| 342.2269 | 5.7038 | 11.4076 | 90000 | 60 | 300 | 10 |
| 2657.1853 | 55.5127 | 111.0254 | 478 | 2595 | Total |
10(2657.1853) – (55.5127)(478)
b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10(111.0254) – (55.5127)2
26571.853 – 26535.0706
b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1110.254 – 3081.6599
36.7824
b = ــــــــــــــــــــــــــــ
– 1971.4059
b = – 0.0187 ≈ – 0.02
478 – ( – 0.0187 × 55.5127)
a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
478 + 1.0381
a = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
a = 47.9038 ≈ 47.9
والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:
Y = a + LinX
Y = 47.9 + (– 0.02)(Lin250)
Y = 47.9 – 0.11
Y = 47.8
4) الحل باستخدام المعادلة الأسية
أحياناً يكون شكل الانتشار (المبين بالشكل) للبيانات الفعلية دالاً إلى متوسطات μy/x يمكن ضبطها لتمثل بالمنحنى الأسي الذي صيغته μy/x = C Dx حيث أن C, D معاملات يمكن تقديرها من البيانات الفعلية والرمز لتقديرها هو c, d ، وتقدر μy/x بـ Ŷ وتكون معادلة الانحدار الأسية للعينة هي: Ŷ = c dx ولتحويلها لمعادلة خطية نأخذ اللوغاريتم للأساس 10 للطرفين نجد أنَّ:
Log y = Log c + X Log d
بوضع a = Log c , b = Log d فتكون المعادلة:
Log y = a + b X
ولحساب a , b نستخدم الصيغ التالية:
بتكوين جدول البيانات المطلوبة للصيغ السابقة وهو:
X Log y | Log y | X2 | الاستهلاك بالكيلوجرام(Y) | الدخل الشهري بالدينار(X) | العائلة |
| 413.3031 | 1.6532 | 62500 | 45 | 250 | 1 |
| 486.9748 | 1.6233 | 90000 | 42 | 300 | 2 |
| 476.6013 | 1.6435 | 84100 | 44 | 290 | 3 |
| 437.5809 | 1.7160 | 65025 | 52 | 255 | 4 |
| 441.7322 | 1.6990 | 67600 | 50 | 260 | 5 |
| 435.0907 | 1.7404 | 62500 | 55 | 250 | 6 |
| 320.4120 | 1.6021 | 40000 | 40 | 200 | 7 |
| 352.4532 | 1.6021 | 48400 | 40 | 220 | 8 |
| 458.7219 | 1.6990 | 72900 | 50 | 270 | 9 |
| 533.4454 | 1.7782 | 90000 | 60 | 300 | 10 |
| 4356.3154 | 16.7565 | 683025 | 478 | 2595 | Total |
بالتعويض في الصيغ السابقة نجد أن:
10(4356.3154) – (2595)(16.7565)
b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10(683025) – (2595)2
43563.154 – 43483.1175
b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6830250 – 6734025
80.0365
b = ــــــــــــــــــــــــــــ
96225
b = 0.00083 ≈ 0.001 , b = Log d Then d = 1.0019 ≈ 1.002
16.7565 – (0.0008 × 2595)
a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
16.7565 – 2.1539
a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
a = 1.4681 ≈ 1.5 , a = Log c Then c = 29.3833 ≈ 29.38
المعادلة المطلوبة
Ŷ = c dx
Ŷ = 29.3833(1.0019)X
والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:
Ŷ = 29.3833(1.0019)250
Ŷ = 47.2275 ≈ 47
والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:
Log y = a + bX
Log y = 1.4681 + 0.00083×250
Log y = 1.4681 + 0.2075
Log y = 1.6756
Y = 47.3805 ≈ 47
الانحدار غير الخطي المتعدد Non-Linear Multiple Regression
سبق أن ذكرنا في مقدمة الانحدار غير الخطي البسيط بوجود أنواع من الانحدار غير الخطي والتي تضم العنصر X2 أو X3 أي إضافة أحد العنصرين X2 أو X3 لمعادلة الانحدار غير الخطي البسيط ونحصل على معادلة الانحدار ألتربيعي ، ومعادلة الانحدار التكعيبي وسيتم عرضها هنا.
معادلة الانحدار ألتربيعي Quadratic Regression Equations
معادلة الانحدار التكعيبي Cubic Regression Equation
هذه المعادلة تعتبر من أبسط معادلات الانحدار غير الخطي المتعدد وهي معادلة من الدرجة الثانية ونشأت من إضافة العنصر X2 لمعادلة الانحدار الخطي البسيط وتأخذ الصورة الآتية:
y = a + b X + c X2
والمنحنى قطع مكافئ مفتوح من أعلى (معامل X2 موجب a > 0) ورأسه نقطة صغرى أو مفتوح من أسف (معامل X2 سالب a < 0) ورأسه نقطة عظمى والرأس في الحالتين له إحداثي سيني = – (b ÷ 2a) لاحظ الشكل:
لتحويل معادلة الانحدار ألتربيعي لمعادلة خطية نفرض الآتي:
X1 = X , X2 = X2 فتكون لدينا الصيغة:
y = a + b X1+ c X2 وبالتالي يمكن إيجاد قيم الثوابت باستخدام طريقة المربعات الصغرى وبنفس الطريقة التي استخدمت في معادلة الانحدار الخطي المتعدد لحل المعادلات الثلاث التالية وسنفصل ذلك بالمثال التالي:
∑Y = na + b∑X1 + c ∑X2
∑X1Y = a∑X1 + b∑X12 + c ∑X1X2
∑X2Y = a∑X2 + b∑X1X2 + c ∑X22
مثال:
أوجد معادلة الانحدار ألتربيعي من جدول التوزيع التالي والذي يبين عدد الوحدات المنتجة بالمئات لستة أنواع من أجهزة الراديو (X) ومعدل كلفة الجهاز الواحد المنتج بالدينار البحريني (Y) ثم أوجد تقدير كلفة الجهاز الواحد عند X = 3.5 وأرسم الخط البياني للمعادلة.
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | عدد الأجهزة (X) |
| 6 | 4 | 5 | 4 | 2 | 3 | تكلفة الوحدة (Y) |
الحل:
نكون جدول البيانات المطلوبة لحل المعادلات الثلاث أعلاه للتعرف على قيم الثوابت a , b , c
| Y2 | X22 | X12 | X1X2 | X2Y | X1Y | X2 (X2) | Y | X (X1) |
| 9 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 1 | 3 | 1 |
| 4 | 16 | 4 | 8 | 8 | 4 | 4 | 2 | 2 |
| 16 | 81 | 9 | 27 | 36 | 12 | 9 | 4 | 3 |
| 25 | 256 | 16 | 64 | 80 | 20 | 16 | 5 | 4 |
| 16 | 625 | 25 | 125 | 100 | 20 | 25 | 4 | 5 |
| 36 | 1296 | 36 | 216 | 216 | 36 | 36 | 6 | 6 |
| 106 | 2275 | 91 | 441 | 433 | 95 | 91 | 24 | Total 21 |
المعادلات المطلوب حلها هي:
24 = 6a + 21b +91c
95 = 21a + 91b + 441c
433 = 91a + 441b + 2275c
ناتج حل المعادلات | المعادلات بعد التعويض من الجدول أعلاه(الصف الأخير) | المعادلات |
a = 2.3 b = 0.254 c = 0.054 | 24 = 6a + 21b +91c 95= 21a + 91b + 441c 433 = 91a + 441b + 2275c | ∑Y = na + b∑X1 + c ∑X2 ∑X1Y = a∑X1 + b∑X12 + c ∑X1X2 ∑X2Y = a∑X2 + b∑X1X2 + c ∑X22 |
معادلة الانحدار ألتربيعي هي: Y = 2.3 + 0.254 X1 + 0.054 X2 أي Y = 0.054 X2 + 0.254 X + 2.3
معدل كلفة الجهاز الواحد عند X = 3.5 ، نعوض في المعادلة لحساب Y أي:
Y = 0.054(3.5)2 + 0.254(3.5) + 2.3
Y = 0.6615 + 0.889 + 2.3
Y = 3.8505 ≈ 3.9
التمثيل البياني: ألإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ = – 0.254 ÷ 2× 0.054 = – 0.254 ÷ 0.108 = – 2.4
ألإحداثي الصادي لرأس القطع المكافئ = 0.054( –2.4 )2 + 0.0254( –2.4 ) + 2.3 = 2
رأس القطع المكافئ ( – 2.4 ، 2) وهو مفتوح من أعلى كما مبين بالشكل
