الوسط الحسابي بطرقه المختلفة

 مثال (1 3 )

  1) العلامات 40 ، 16 ، 80 ، 100 ، س تائية فما قيمة س

  2) العلامات 4 ، 6 ، 9 ، 10 ، سارية فما قيمة س

  3) العلامات 70 ، 80 ، 90 ، 100 ، س ساتية ( AST ) فما قيمة س

الحـل:

    مجموع التائية = 50 نية = 0 والساتية = 500 وذلك من:

    T = 10Z + 50                         

∑ T = 10 Z + 50n            

    ∑T = 50n      ، مثل ∑Z = 0

∑T = 50 ن                           

بالمثل للدرجات الساتية يكون مجموعها 500 ن

SAT = 100Z + 500                   

 Σ (SAT) = 100 Σ Z + 500N          

                 ∑SAT = 500n ، مثل ∑Z = 0              

∑SAT = 500 ن                        

بناء على ما سبق يكون:

1) 14 + 16 + 80 + 100 + س = 50 × 5

       210 + س = 250

        س = 40

2) 4 - 6 + 9 - + 10 س = 0

    13-15 + س = 0

    س = 2

3) 60 0 + 70 0 + 400 + 500 + س = 500 × 5

     2200 + س = 2500

        س = 160

مثال(14)

إذا كان ل هو الوسط الحسابي للقيم  2 ، 6 ، 7 ، 9 ، 13 فما قيمة الوسط الحسابي للقيم  4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26 بدلالة ل

الحـل:

    من حيث أن الوسط الحسابي = مجموع القيم على عددها فإنَّ:

    ل = (2 + 6 + 7 + 9 + 13) ÷ 5

    5 ل = (2 + 6 + 7 + 9 + 13)

    الوسط الحسابي للقيم 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26 = مجموعها ÷ 5

                                                                  =(4 + 12 + 14 + 18 + 26) ÷ 5

                                                                  = 2( 2 + 6+ 7 + 9 + 13) ÷ 5

                                                                  = 2 × 5 ل ÷ 5

                                                                  = 2 ل

أو :

    بحساب ذلك من مفهوم تأثر الوسط الحسابي بالعمليات الحسابية على قيمه فالقيم الجديدة ( 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26) هي القيم السابقة ( 2 ، 6 ، 7 ، 9 ، 13) مضروب مفرداتها في 2 ومن حيث الوسط الحسابي ل للأولى فالقيم الجديدة وسطها الحسابي هو ل × 2 = 2 ل

 

لاحظ:

     المتوسط الحسابي للقيم 1 ، 5 ، 6 ، 8 ، 12 هو ل – 1 لأن هذه القيم هي القيم السابقة مطروح من مفرداتها العدد 1

     المتوسط الحسابي للقيم 6 ، 10 ، 11 ، 13 ، 17 هو ل + 4 لأن هذه القيم هي القيم السابقة مضاف لكل من مفرداتها العدد 4

     المتوسط الحسابي للقيم 1 ، 3 ، 3.5 ، 4.5 ، 6.5 هو ½ل لأن هذه القيم هي القيم السابقة مقسوم كل من مفرداتها على العدد 2

     كما يمكن إجراء أكثر من عملية كإضافة عدد لكل مفردة ثم قسمة النواتج على عدد فالوسط الجديد = الوسط السابق مضاف له العدد ومن ثم يقسم على العدد الآخر.

(1) من الجدول التكراري الآتي:

 

Total	18	16	14	12	10	8	6	4	2	Interval
64	5	6	7	9	11	9	7	6	4	Frequency

 

أوجد قيمة الوسط الحسابي بطرقه المختلفة.

الحـل:

لاحظ: في البيانات المبوبة قانون الوسط الحسابي هو: X = (∑x_i f_i) / ∑f_i`وللوسط الفرضي:  X<sub>0</sub> = (∑D<sub>i</sub> f<sub>i</sub>) / ∑f<sub>i</sub>`حيث أن: i = 1 , 2 , ... , n  ، ∑f_i = n   

    نكون الجدول الآتي:

X1 × F	Mid Interval  (X1)	Frequency (F)	Interval (X)
12	3	4	2 –
30	5	6	4 –
49	7	7	6 –
81	9	9	8 –
121	11	11	10 –
117	13	9	12 –
105	15	7	14 –
102	17	6	16 –
95	19	5	18 –
712		64	Total

Mean = 712 / 64

           = 11.125

باستخدام الوسط الفرضي (Fictitious Mean):

 

X2 × F	Deviations (X2)	Mid Interval (X1)	Frequency (F)	Interval (X)
– 32	– 8	3	4	2 –
– 36	– 6	5	6	4 –
– 28	– 4	7	7	6 –
– 18	– 2	9	9	8 –
0	0	11	11	10 –
18	2	13	9	12 –
28	4	15	7	14 –
36	6	17	6	16 –
40	8	19	5	18 –
8	0		64	Total

نختار X₀=11 كوسط فرضي.

Mean = 11 + 8 / 64

           = 11 + 0.1257

     = 11.125

باستخدام الطريقة المختصرة:

    بإضافة عمود جديد بقسمة الانحرافات على طول الفئة:

 

(X2 / 2) × F	X2 / 2	Deviations (X2)	Mid Interval (X1)	Frequency (F)	Interval (X)
– 16	– 4	– 8	3	4	2 –
– 18	– 3	– 6	5	6	4 –
– 14	– 2	– 4	7	7	6 –
– 9	– 1	– 2	9	9	8 –
0	0	0	11	11	10 –
9	1	2	13	9	12 –
14	2	4	15	7	14 –
18	3	6	17	6	16 –
20	4	8	19	5	18 –
4	0	0		64	Total

  Mean = 11 + (4 / 64) × 2

      = 11 + 0.125

= 11.125