مقاييس التشتت هي أدوات إحصائية تُستخدم لتحديد مدى انتشار البيانات حول مقياس النزعة المركزية مثل المتوسط الحسابي أو الوسيط. هذه المقاييس تساعد في فهم مدى تباين القيم في مجموعة البيانات. إليك نظرة على بعض مقاييس التشتت الرئيسية:
1. **المدى (Range)**:
- **الوصف**: الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.
- **الصيغة**: \( \text{Range} = \text{Maximum} - \text{Minimum} \)
- **المزايا**: سهل الحساب ويعطي فكرة بسيطة عن تشتت البيانات.
- **العيوب**: يتأثر بالقيم الشاذة ولا يعكس التشتت الداخلي للبيانات.
2. **الانحراف المتوسط (Mean Absolute Deviation)**:
- **الوصف**: المتوسط الحسابي للانحرافات المطلقة للقيم عن المتوسط الحسابي.
- **الصيغة**: \( \text{Mean Absolute Deviation} = \frac{\sum |x_i - \text{Mean}|}{N} \)
- **المزايا**: يعطي فكرة واضحة عن مدى تباين القيم حول المتوسط.
- **العيوب**: أقل استخدامًا من الانحراف المعياري في الإحصاءات المتقدمة.
3. **التباين (Variance)**:
- **الوصف**: متوسط مربعات انحرافات القيم عن المتوسط الحسابي.
- **الصيغة**:
- للعينة: \( s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \)
- للمجتمع: \( \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} \)
- **المزايا**: يستخدم في العديد من التحليلات الإحصائية المتقدمة.
- **العيوب**: يقيس الوحدات بمربعات الوحدات الأصلية، مما قد يجعل التفسير أقل وضوحًا.
4. **الانحراف المعياري (Standard Deviation)**:
- **الوصف**: الجذر التربيعي للتباين.
- **الصيغة**:
- للعينة: \( s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \)
- للمجتمع: \( \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \)
- **المزايا**: يعبر عن التشتت بنفس وحدة القياس الأصلية، ويستخدم على نطاق واسع.
- **العيوب**: قد يتأثر بالقيم الشاذة.
5. **المدى الربيعي (Interquartile Range, IQR)**:
- **الوصف**: الفرق بين الربيع الأول (الربع 25%) والربيع الثالث (الربع 75%).
- **الصيغة**: \( \text{IQR} = Q3 - Q1 \)
- **المزايا**: غير حساس للقيم الشاذة ويعطي فكرة جيدة عن التشتت في منتصف البيانات.
- **العيوب**: لا يستخدم كل البيانات، فقط النطاق بين الربعين.
### أمثلة:
1. **المدى**:
- مجموعة القيم: 3, 7, 7, 19
- المدى = \( 19 - 3 = 16 \)
2. **التباين** (للعينة):
- مجموعة القيم: 3, 7, 7, 19
- المتوسط الحسابي = \( 9 \)
- التباين = \( \frac{(3-9)^2 + (7-9)^2 + (7-9)^2 + (19-9)^2}{4-1} = \frac{36 + 4 + 4 + 100}{3} = 48 \)
3. **الانحراف المعياري** (للعينة):
- الانحراف المعياري = \( \sqrt{48} \approx 6.93 \)
4. **المدى الربيعي**:
- مجموعة القيم: 3, 7, 7, 19
- الترتيب: 3, 7, 7, 19
- الربيع الأول (Q1) = 7، الربيع الثالث (Q3) = 7
- المدى الربيعي = \( 7 - 7 = 0 \)
### الاستخدامات العملية:
- **المدى**: يُستخدم في المواقف التي تتطلب تقديرًا سريعًا لتشتت البيانات.
- **الانحراف المتوسط**: مفيد في فهم التباين حول المتوسط بوضوح.
- **التباين والانحراف المعياري**: يُستخدمان على نطاق واسع في التحليلات الإحصائية المتقدمة والتطبيقات المالية.
- **المدى الربيعي**: مفيد في تحليل البيانات التي تحتوي على قيم شاذة أو غير طبيعية.
### الخلاصة:
مقاييس التشتت توفر فهماً أعمق لكيفية انتشار البيانات وتساعد في تقييم مدى اتساق القيم حول مقياس النزعة المركزية. اختيار المقياس المناسب يعتمد على طبيعة البيانات والغرض من التحليل.
