إذا كان لدينا عينة عشوائية من مجتمع مجهول متوسطه μ ومعلوم تباينه σ2 فإن:
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
حيث أن n حجم العينة ، ويتبع توزيع χ2 درجات حرية n – 1 واختبار الفرض هنا يقارن بين قيم إحصائية χ2 والقيمة الحرجة لها من الجدول الخاص بتوزيع Chi-Square
ويتبع التوزيع χ2 بدرجات حرية n – 1 ونسمى S2 بمقدر التباين σ2 التي تنشأ إحصائية حيث تباين العينة العشوائية (S2) التي حجمها n والمأخوذة من مجتمع ذو توزيع طبيعي بتباين σ2 هي قيمة متغير عشوائي χ2 له توزيع Chi - Square بدرجة حرية n – 1 ويحدد من الصيغة الرياضية:
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
ومن حيث χ2 كمية موجبة دوماً فإن منحنى χ2 لا يكون متماثل حول χ2 = 0 يل ملتو التواءً موجباً جهة اليمين ولكنه يقترب من التوزيع الطبيعي كلما زادت درجات الحرية وله من الصفات:
1) ذو قمة واحدة
2) مستمر
3) يقترب من التوزيع الطبيعي كلما زادت درجات الحرية
4) وسطه الحسابي n – 1 درجة حرية وتباينه ضعف وسطه الحسابي
5) احتمال عينة عشوائية يعطي قيمة χ2 > K تساوي المساحة تحت المنحنى والواقعة يمين القيمة K وتعرف χα2 وعلى يمينها تكون المساحة α.
6) في جدول χ2 القيم في الأعمدة هي مساحات α
8) إنَّ χ2(0.01, 9) = 21.666 تعني احتمال العينة العشوائية يعطي ≥ هذه القيمة هو 0.01 ويجب إيجاد χ2(0.99, 9) = 2.088
يجب ملاحظة أن توزيع χ2 ليس اعتدالي بل هو ملتو (التواء موجب) وعليه فالكل α نوجد χ2 عندα/2 ، 1–(α/2)s فإذا كانت α=.05 فنوجد χ2 0.025 و χ2 0.975
اختبار χ2
اختبار χ2 قد يكون ذو طرف واحد أو طرفين ويكون فرض العدم والبديل هما:
H0: σ2 =σ02 , H1:σ2 > σ02
نرفض H0 إذا كان:χ2 ≥ χ2 (n–1 , α)i حيث χ2 (n–1 , α)i هي قيمة χ2 الحرجة بدرجة حرية n–1 والتي تكون المساحة على يمينها تساوي α.
إذا كان فرض البديل هو: H1:σ2 < σ02 فإننا نرفض H0 عندماχ2 ≥ χ2 (n–1 , 1–α)i حيث χ2 (n–1 , 1–α)i هي قيمة χ2 الحرجة بدرجة حرية n–1 والتي تكون المساحة على يسارها تساوي α.
إذا كان الفرض البديل هو: H1:σ2 ≠ σ02 فإننا نرفض H0 عندماχ2 ≥ χ2 (n–1 , α/2)i أو عندماχ2 ≤ χ2 (n–1 , 1– α/2)i بفرض منطقة الرفض قسمت بالتساوي على طرفي المنحنى جهة اليمين وجهة اليسار
إذا أردنا فترة ثقة i(1– α)i لتباين المجتمع σ2 فيمكن الحصول على تباين العينة S2 حيث:
( n – 1) S2
P[χ2(n–1, α/2) > ————— > χ2 (n – 1 , 1– α/2)] = n – α
σ2
حيث: χ2 (n–1 , 1–α/2)i هي قيمة χ2 الحرجة بدرجة حرية n–1 والتي تكون المساحة على يمينها تساوي α/2
للحصول على فترة الثقة (i(1– αلتباين المجتمع σ2 نقلب المتباينة السابقة أي:
1 σ2 1
————— > ————— > ————————
χ2(n–1, α/2) ( n – 1) S2 χ2 (n – 1 , 1– α/2)
نضرب في i( n – 1) S2
( n – 1) S2 ( n – 1) S2
————— > σ2 > ————————
χ2(n–1, α/2) χ2 (n – 1 , 1– α/2)
وهي فترة الثقة المطلوبة
مثال:
أوجد فترة ثقة i95% لأوزان عشرة طلاب هي:
55, 64, 72, 63, 55, 60, 72, 68, 66,65
الحـل:
نطرح كل قيمة من 60 للحصول على أعداد صغيرة
5, – 4, – 12, – 3, 5, 0,– 12, – 8, – 6, – 5 , Total = ∑ (Xi) = – 40
نربع القيم
25, 16, 144, 9, 25, 0, 144, 64, 36, 25 Total = ∑ (Xi2) = 488
نوجد S2
n ∑ (Xi2) – [∑ (Xi)]2
S2 = —————————
n(n – 1)
10 × 488 – 1600
S2 = ———————— = 36.444
10 × 9
من جدول χ2 نجد أن:
χ2 0.025 = 19.023 , χ2 0.975 = 2.700
نعوض في المتباينة للحصول على فترة الثقة المطلوبة
( n – 1) S2 ( n – 1) S2
————— > σ2 > ————————
χ2(n–1, α/2) χ2 (n – 1 , 1– α/2)
9 × 36.444 9 × 36.444
————— > σ2 > ——————
19.023 2.700
327.996 327.996
————— > σ2 > ————
19.023 2.700
17.242 > σ2 > 121.48
مثال (1):
تنتج شركة أسلاك تباين قوة المقاومة للتلف للأسلاك لا تتعدى i30000 وادعت الشركة بأن إنتاجها للطريقة الجديدة المستخدمة الآن تزيد من تباين قوة المقاومة لتلف الأسلاك بفرض قوة المقاومة تتبع التوزيع الطبيعي فسحبت عينة عشوائية من إنتاج الشركة فوجدنا تباينها i40000 فاختبر فرضية وجود زيادة معنوية في التباين عند مستوى معنوية i0.01
الحـل:
الفرضيات:
H0: σ2 ≤ 30000 , H1:σ2 > 30000
من الجدول صف i9 وعمود i0.01نجد i21.666وهي قيمة χ2 الحرجة ويكون رفض H0 إذا كانت χ2 المحسوبة أكبر من i21.666
نحسب χ2 من القانون:
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
( 10 – 1) × 40000
χ2 = ———————— = 12
30000
والقيمة i12 أقل من i21.666 فإننا نقبل بالفرضية الصفرية ونرفض البديلة عند مستوى معنوية i0.01أي أن البيانات الخاصة بالعينة تدل على ان الزيادة ليست معنوية عند مستوى معنوية i0.01
ماذا نجد إذا كان المطلوب عند مستوى معنوية α = 0.9 ؟
مثال(2):
إذا كان تباين الطول في بلد ما هو 20 وكانت إحدى القرية ذات ظروف بيئية واجتماعية مختلفة فإن تباين أطوالهم قد يكون مختلفاً فلذا أخذت عينة عشوائية مكونة من 71 فرداً من القرية فوجد أن تباين الطول عندهم 15 فاختبر فرض العدم القائل بتساوي التباين مقابل فرض البديل القائل بعدم التساوي عند مستوى معنوية 0.05 بافتراض أن التوزيع للعينة معتدل واوجد فترة ثقة 0.95 للتباين الحقيقي لأطوال القرية
الحـل:
الفرضيات:
H0: σ2 = 20 , H1:σ2 ≠ 20
الفرضية البديلة غير متجهة فتوجد قيمتان حرجتان هما :
χ2 (70 , 0.05) = 90.531 , χ2 (70 , 0.95) = 51.739
وذلك من الجدول صف i70 وعمود i0.05 ، 0.95 فنجد i90.531 ، 51.739 على الترتيب وهي قيم χ2 الحرجة ويكون رفض H0 إذا كانت χ2 المحسوبة أكبر من i90.531أو أقل من 51.739 أو القيم المحسوبة تقع بينهم ونحسب χ2 من القانون:
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
( 71 – 1) × 15
χ2 = ———————— = 52.5
20
والقيمة 52.5 تقع بين 51.739 ، 90.531 فإننا نقبل بالفرضية الصفرية ونرفض البديلة عند مستوى معنوية i0.05.
لإيجاد فترة الثقة نستخدم الصيغة السابق ذكرها:
( n – 1) S2 ( n – 1) S2
————— > σ2 > ————————
χ2(n–1, α/2) χ2 (n – 1 , 1– α/2)
( 71 – 1) 15 ( 71 – 1)
————— > σ2 > —————
χ2 (70 , 0.025) χ2 (70 , 0.975)
( 71 – 1)×15 ( 71 – 1)×15
————— > σ2 > —————
95.023 48.758
11.05 > σ2 > 21.51
ملخص اختبار تباين مجتمع σ2 بقيمة معينة σ02 حيث أن الفرضية الصفرية H0: σ2 = σ02 حيث أن حساب التباين ، وقيمة المتغير العشوائي χ2 تحسب من:
n ∑ (Xi2) – [∑ (Xi)]2
S2 = —————————
n(n – 1)
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
عندما تكون H0 صحيحة عند مستوى معنوية يساوي α وتكون منطقة رفض H0 يحدد حسب الفرضية البديلة كما يلي:
(a) إذا كان الفرض البديل هو: H1:σ2 ≠ σ02 فإن منطقة الرفض χ2 ≥ χ2 (n–1 , α/2)i أو عندماχ2 ≤ χ2 (n–1 , 1– α/2)i (الشكل 1)
(b) إذا كان الفرض البديل هو: H1:σ2 > σ02 فإن منطقة الرفض χ2 > χ2 (n–1 , α)i (الشكل 2)
(c) إذا كان الفرض البديل هو: H1:σ2 < σ02 فإن منطقة الرفض χ2 ≤ χ2 (n–1 , 1– α)i (الشكل 3)
خطوات اختبار تباين مجتمع:
أ) فرضية العدم: H0: σ2 = σ02
والفرضية البديلة واحدة من: H1: σ2 = σ02 ، H1: σ2 < σ02 ، H1: σ2 > σ02
ب) اختيار مستوى معنوية
ج) تحديد منطقة الرفض
1) الفرض البديل هو: H1:σ2 ≠ σ02 فإننا نرفض H0 عندماχ2 ≥ χ2 (n–1 , α/2)i أو عندماχ2 ≤ χ2 (n–1 , 1– α/2)i
2) الفرض البديل H1:σ2 > σ02 فإننا نرفض H0 عندماχ2 ≥ χ2 (n–1 , α/2)i
3) الفرض البديل H1:σ2 < σ02 فإننا نرفض H0 عندماχ2 ≤ χ2 (n–1 , 1– α/2)i
د) الصيغة الرياضية التالية لاختبار التباين
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
هـ) يتخذ القرار برفض H0 إذا وقعت قيمة χ2 في منطقة الرفض.
مثال (3)
شركة إنتاج بطاريات السيارات تدعي بأن عمر البطارية له انحراف معياري لا يزيد عن 0.9 سنة وبأخذ عينة مكونة من 21 بطارية تبين انحرافها المعياري 1.5 سنة اختبر ادعاء الشركة عند مستوى معنوية i5%
الحـل:
الفرضيات:
العدم: H0: σ2 ≤ 0.81 لاحظ 0.81 هي مربع 0.9
البديلة: H1: σ2 > 0.81
منطقة الرفض
χ2 ≥ χ2 (n–1 , α/2)i= χ2 (20 , 0.05) = 31.410
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
20 × 2.25
χ2 = ————— = 5.556
0.81
حيث أن قيمة χ2 المحسوبة أقل من الجدولية فإننا نقبل إدعاء الشركة (الفرضية الصفرية).
مثال (4)
في امتحان الرياضيات لأحد الفصول كان التباين 80 وبعد اختيار عينة عشوائية مكونة من 25 طالباً منهم وجدَّ التباين لهم 60 فاختبر الفرضية بأن تباين العينة المختارة أقل من تباين المجتمع عند مستوى معنوية 5%.
الحـل:
الفرضيات:
العدم: H0: σ2 = 78 لاحظ 0.81 هي مربع 0.9
البديلة: H1: σ2 < 78
منطقة الرفض: إذا كان: χ2 (n–1, α)i < 36.415 حيث القيمة 36.415 استخرجت من الجدول صف 24 درجة حرية وعمود 0.05 ( قيمة حرجة واحدة لكون الفرضية البديلة متجهة )
( n – 1) S2
χ2 = —————
σ2
24 × 64
χ2 = ————— = 19.2
80
حيث أن القيمة المحسوبة 19.2 أقل من 36.514 الجدولية فنرفض فرضية العدم وهذا يعني وجود اختلاف ذو دلالة بين تباين العينة وتباين المجتمع.
