التباين والانحراف المعياري

    سبق أن ذكرنا بأن مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفر وقولنا المجموع يساوي الصفر يعني وجود فروق سالبة وأخرى موجبة وللتخلص من الفروق السالبة قمنا بأخذ الانحراف المطلق أي بضرب الفرق السالب بسالب 1 وعرفنا ذلك بالانحراف المتوسط وتوجد طريقة أخرى للتخلص من الفروق السالبة هذه وذلك بتربيعها لتصبح موجبة ومجموع مربعات الانحرافات للقيم عن وسطها الحسبي يعرف بالتباين (Variance) في حين الجذر ألتربيعي لهذا المجموع (مجموع مربعات الانحرافات) يعرف بالانحراف المعياري (Standard Deviation) ، فالتباين أحد مقاييس التشتت.

التباين:

    هو مقياس لاختلاف البيانات وتشتتها، وهو متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، ويرمز له بالرمز S² ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية:

S² = [ ∑ (x_i – `X )²] / n           , i = 1, 2, 3, ..., n      

ويمكن القسمة على n – 1 في حالة العينة وهو ما يعرف بالقيم الحرة أو درجات الحرية حيث القيمة المتبقية من n  يكمل انحرافها عن الوسط الحسابي للصفر لأن مجموع انحرافات القيم عن وسطها يساوي الصفر.

S² = [ ∑ (x_i – `X )²] / ( n – 1 )    , i = 1, 2, 3, ..., n

أما في حالة المجتمع فنستخدم الصيغة الرياضية الآتية:

σ² = [ ∑ (x_i – μ )²] / N    , i = 1, 2, 3, ..., N             

   حيث S² تباين العينة ، σ² تباين المجتمع.

    التباين يتعامل مع مربع الانحراف عن الوسط  وهذا يعطي قياس غير ذو معنى مثل مربع الكيلوجرام أو مربع الدينار ولذا يفضل إرجاع ذلك (بأخذ الجذر التربيعي) للمعنى المقبول مثل الكيلوجرام والدينار وما إلى ذلك من وحدات وهذا الجذر ألتربيعي هو الانحراف المعياري لعينة ما.

الانحراف المعياري:

    ببساطة نقول إن الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين، ومن الملاحظ أن التباين يقاس بالوحدات المريعة وليس بوحدات المتغير والانحراف المعياري يقاس بنفس وحدات المتغير محل ظاهرة الدراسة.

    الانحراف المعياري هو أفضل مقاييس التشتت وأشهرها استخداماً بالرغم من صعوبة حساباته حال كبر حجم العينة ولكن الحاسب الآلي سهل هذه الصعوبة.

    تستخدم الصيغ الرياضية السابقة لحساب الانحراف المعياري سواء S للعينة أو σ للمجتمع

معامل الاختلاف:

    يستخدم لمقارنة التشتت بين مجموعتين (المتغيرات النفسية) وذلك للاختلاف الواضح في الوسط الحسابي لمجموعتين من حيث القيمة فصغر الوسط الحسابي في المجموعة الأولى في مقابل كبره في المجموعة الثانية وهو النسبة المئوية بين الانحراف المعياري والوسط الحسابي وبالتالي لا يعتمد على وحدات المتغير الأصلي وبالتالي يمكن استخدامه لمجموعتين مختلفتين في الوحدات، ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية: معامل الاختلاف = 100( الانحراف المعياري ÷ الوسط الحسابي)

طرق حساب الانحراف المعياري:

أولاً: بيانات غير مبوبة

 مثال:

    احسب كلاً من التباين والانحراف المعياري للقيم i 12 ، 15 ، 11 ، 17 ، 18 ، 20 ، 19

الحل:                  نكون جدول المعلومات التالي:

( Xi –`X )2	( Xi –`X )	Xi
16	12 – 16 =  –4	12
1	15 – 16 =  – 1	15
25	11 – 16 = – 5	11
1	17 – 16 = 1	17
4	18 – 16 = 2	18
16	20 – 16 = 4	20
9	19 – 16 = 3	19
∑ ( Xi –`X )2 = 72	`X = 112/7 = 16	∑ Xi = 112

نحسب التباين من القانون أعلاه:

S² = [ ∑ (x_i – `X )²] / ( n – 1 )

= 72 / 6                            

= 12                                 

الانحراف المعياري يساوي الجذر ألتربيعي للتباين أي:

S.D = 3.46                                     

حل آخر باستخدام القيم دون الوسط الحسابي  بعد وضع القانون أعلاه في صورة جديدة كما يأتي:

S² = [ ∑ (x_i – `X )²] / ( n – 1 )

           ∑ (X_i –`X )<sup>2</sup> =  ∑ ( X<sub>i</sub><sup>2</sup> – 2 X<sub>i</sub>`X + (`X )² )  

                                 2`X constant (in sample) Then ∑ 2 X<sub>i</sub>`X =  2`X ∑X_i

           ∑ (X_i –`X )<sup>2</sup> = ∑ (X<sub>i</sub><sup>2</sup> ) – 2`X ∑(X_i) + ∑(`X )²   

                              `X = ∑(X<sub>i</sub>) / n Then ∑(X<sub>i</sub>) = n`X , ∑(X_i)² = n²(`X )<sup>2</sup> → (∑X<sub>i</sub> )<sup>2</sup> / n = n<sup>2</sup>(`X )² / n =  n`X²

                               = ∑ (X_i² ) – 2n(`X )<sup>2</sup>  + n(`X )²

                               = ∑ (X_i² ) –  n(`X )<sup>2</sup>                 ,`X = ∑(X_i) / n → `X<sup>2</sup> = ∑(X<sub>i</sub>)<sup>2</sup> / n<sup>2</sup>  →( n بالضرب في ) → n`X² = (∑X_i )² / n

                               = ∑ (X_i² ) –  (∑X_i)² / n 

S² = [∑ (X_i² ) –  (∑X_i )² / n] / ( n – 1 ) ... (1)

Or

S² = [( ∑X_i² ) –  n`X² ] / ( n – 1 ) ... (2)

الجدول الآتي هو تعديل للجدول أعلاه:

Xi2	Xi
144	12
225	15
121	11
289	17
324	18
400	20
361	19
∑ Xi2 = 1864	∑ Xi = 112

 بتطبيق هذه الصيغة رقم (1):

S² = [∑ (X_i² ) –  (∑X_i )² / n] / ( n – 1 )

S² = [1864 –  (112 )² / 7] / (7 – 1 )

S² = [1864 –  1792] / 6

S² = 72 / 6

S² = 12       التباين

الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين أي:

S.D = 3.46

Or

 بتطبيق هذه الصيغة رقم (2):

S² = [( ∑X_i² ) –  n`X² ] / ( n – 1 )

S² = [1864 –  7(16 )²] / (7 – 1 )

S² = [1864 –  1792] / 6

S² = 72 / 6

S² = 12       التباين

الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين أي:

S.D = 3.46

---

حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة:

    سنبين ذلك من خلال المثال التالي وكما ورد في المثال السابق من طريقتين إحداهم باستخدام الوسط الحسابي (الطريقة المطولة)  والأخرى بدون الوسط الحسابي (الطريقة المختصرة) وبالتالي سيكون لدينا الصيغ الرياضية  الآتية للتباين والانحراف المعياري للبيانات المبوبة:

حيث I طول الفئة ، D الانحراف عن الوسط الفرضي وهو القيمة التي في مركز الفئة التي تقابل أكبر تكرار ونتائج الانحرافات أعداد صحيحة

مثال:

    احسب التشتت باستخدام الانحراف الانحراف من جدول التوزيع التكراري الآتي والذي يبين درجات 30 طالب في امتحان ما.

Total	24 – 26	21 – 23	18 – 20	15 – 17	12 – 14	الفئات
30	2	7	10	8	3	التكرار

الحل:                  

    نكون الجدول الشامل للبيانات المطلوبة للصيغ الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري و باستخدام الصيغة (1) أعلاه:  

نجد أن:

fi Xi2	Xi2	fi Xi	Xi	fi	الفئات
507	169	39	13	3	12 – 14
2048	256	128	16	8	15 – 17
3610	361	190	19	10	18 – 20
3388	484	154	22	7	21 – 23
1250	625	50	25	2	24 – 26
10803	1895	561		30	Total

الانحراف المعياري = 3.28

تنبيه:

    312.3 ÷ 30 = 10.41 ويكون الانحراف المعياري = 3.23 كما هو مطابق للحلين الآخرين أدناه

---

يمكن استخدام الصيغة رقم (2) أعلاه لحساب الانحراف المعياري كما يلي

    نكون الجدول الشامل للبيانات المطلوبة للصيغ الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري و باستخدام الصيغة (2) أعلاه نجد أن:

          `X = 561 / 30

                = 18.7

fi ( Xi  –`X )2	( Xi  –`X )2	( Xi  –`X )	fi Xi	Xi	fi	الفئات
97.47	32.49	– 5.7	39	13	3	12 – 14
58.32	7.29	– 2.7	128	16	8	15 – 17
0.90	0.09	0.3	190	19	10	18 – 20
76.23	10.89	3.3	154	22	7	21 – 23
79.38	39.69	6.3	50	25	2	24 – 26
312.3	90.45		561		30	Total

يمكن استخدام الصيغة رقم (2) أعلاه لحساب الانحراف المعياري كما يلي

    نكون الجدول الشامل للبيانات المطلوبة للصيغ الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري و باستخدام الصيغة (2) أعلاه نجد أن:

          `X = 561 / 30

                = 18.7

fiXi2	Xi2	fi Xi	Xi	fi	الفئات
507	169	39	13	3	12 – 14
2048	256	128	16	8	15 – 17
3610	361	190	19	10	18 – 20
3388	484	154	22	7	21 – 23
1250	625	50	25	2	24 – 26
10803		561		30	Total

الحل باستخدام الوسط الفرضي

 من مركز الفئة العدد 19 المقابل لأكبر تكرار (10)   

fi (Di + 1)2	fi Di2	fi D	D=(19 – Xi)/3	19 – Xi	Xi	fi	Interval
3	12	– 6	– 2	– 6	13	3	12 – 14
0	8	– 8	– 1	– 3	16	8	15 – 17
10	0	0	0	0	19	10	18 – 20
28	7	7	1	3	22	7	21 – 23
18	8	4	2	6	25	2	24 – 26
59	35	– 3		0		30	Total

  تنويه: 1) يمكن الاستغناء عن العمود الرابع من اليسار لكون العمود الخامس ثابت للوسط الفرضي المختار من مركز الفئات

           2) توجد معادلة للتأكد من صحة العملية الحسابية السابقة وهي:

∑f_i (D_i + 1)² = ∑f_i D_i² + 2∑f_i D + n

∑f_i (D_i + 1)² = 59        من العمود الأخير

 ∑f_i D_i² + 2∑f_i D + n = 35 – 6 + 30     

                  = 59

يعرف هذا التحقق بتحقق تشارليز

---