7) إذا كان ( S , P) فضاء احتمال ، A Ì S ، الحدث Ā هو الحدث المكمل A أوجدP(A)s إذا كان:P(A) : P(Ā) =3:5s
الحل: بتطبيق قواعد التناسب المقدم ÷ (المقدم + التالي) للنسبة الأولى = المقدم ÷ (المقدم + التالي) للنسبة الثانية
P(A) 3
ـــــــ = ـــــــــــــــ
P(Ā) 5
P( A) 3
Such as P(A) + P(Ā) = 1 ــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
P(A)+ P(Ā) 3 + 5
P( A) 3
ـــــــ = ـــــــــــــــ
1 8
P(A) = 0.375
8) إذا كان ( S , P) فضاء احتمال ، a , е Ì S حيث أن: P(ā υ ē) =1 بين أن a , е حدثان متنافيان.
الحل: لإثبات a , е متنافيان يجب إثبات أن a ∩ е = Ø أي إثبات P(a ∩ е) = 0
P(ā υ ē) = P( a ∩ е)¯
1 = 1 – P(a ∩ е)
P(a ∩ е) = 1 – 1
= 0
إذن الحدثان a , е متنافيان.
9) في تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة كانت احتمالات ظهور الأعداد الفردية متساوية واحتمالات الأعداد ظهور الزوجية متساوية، كما أن احتمال ظهور عدد زوجي ضعف
احتمال ظهور العدد الفردي، أوجد احتمال ظهور العدد 3 أو العدد 4
الحل: ليكن a حدث ظهور عدد زوجي ، е حدث ظهور عدد فردي فيكون P(a) = 2 P(е), P(е) = x فإن:
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1
9x = 1
x = 1÷ 9 = 0.11
P(3 υ 4) = P(3) + P(4) = x + 2x = 3x = 3 × 0.11
= 0.33
10) كيس يحوي 30 كرة متماثلة منها 12 حمراء ، 10 سوداء ، 8 بيضاء، سحبت من الكيس كرتان معاً ولوحظ اللون. احسب احتمال أن تكون إحدى الكرتين على الأقل
حمراء اللون.
الحل: R حدث الكرة حمراء ويمكن وقوعها مع كرة حمراء أو سوداء (B) أو بيضاء (W) أي (R, R) , (R, W), (W, R), (R, B), (B,R)
بفرض أن: r الحدث المطلوب فإن:
P(r) = P(R, R) + P(R, W) + P(W, R) + P(R, B) + P(B,R)
12 11 12 8 12 8 12 10 10 12
P(r) = ـــــــــ × ـــــــــ + ـــــــــ × ـــــــــ + ــــــــ × ـــــــــ + ـــــــــ × ـــــــــ + ــــــــ × ـــــــــ
30 29 30 29 30 29 30 29 30 29
564
P(r) = ــــــــــــــــــــ
30 × 29
= 0.65
11) استخدمت مجموعة الأرقام {1، 2، 3، 4، 5، 7} لكتابة عدد مكون من ستة أرقام فما احتمال أن يكون العدد زوجياً.
الحل: ليكون العدد زوجي يجب أن يكون آحاده 2 أو 4 فإذا أخذنا 2 فنحتاج لخمسة أعداد من الخمسة الأخرى (1، 3، 4، 5، 7) أي تباديل 5 مأخوذة خمسة خمسة أو مضروب
الخمسة 5! في حين الأعداد كلها مضروب الستة (6! ) ويكون الاحتمال المطلوب بفرض هو الحدث x هو:
5×4×3×2×1 + 5×4×3×2×1
P(x) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6×5×4×3×2×1
= 0.33
12) إذا كان a , е حدثين متنافيين ، وكان احتمال وقوع a ثلاثة أمثال احتمال وقوع е وكان احتمال وقوع أحدهم على الأقل يساوي 0.8 فأوجد احتمال عدم وقوع a.
الحل: الحدثان متنافيان فاحتمال وقوعهم معاً يساوي الصفر
P(aυе) = P(a) + P(е) – P(a∩е)
0.8 = P(a) + P(a) ÷ 3 – 0
= 4 P(a) ÷ 3
P(a) =3 × 0.8 ÷ 4
= 0.6
P(ā) = 1 – 0.6 = 0.4
13) تتسابق ثلاثة خيول في الجري فكانت نسبة احتمال فوز الحصان A : احتمال فوز الحصان B : احتمال فوز الحصان C كنسبة 3 : 4 : 5 أوجد احتمال فوز الحصان A.
الحل: نعلم أن مجموع احتمالات الأحصنة الثلاثة يساوي الواحد الصحيح
P(B) : P(A) = 4 : 3 → P(B) = 4 P(A) ÷ 3
P(C) : P(A) = 5 : 3 → P(C) = 5 P(A) ÷ 3
P(A) + 4 P(A) ÷ 3 + 5 P(A) ÷ 3 = 1 × 3
3 P(A) + 4 P(A) + 5 P(A) = 3
12 P(A) = 3
P(A) = 3 ÷ 12
= 0.25
Or
If P(A) = 3x Then P(B) = 4x, P(C) = 5x
3x + 4x + 5x = 1
x = 1 / 12
P(A) = 3 / 12 = 0.25
14) إذا كان ( S , P) فضاء احتمال ، a , е Ì S حيث أن:
P(a) = 0.45 , P(e) = 0.6 , P(aUe) = 0.8
أحسب كل من:
1- P(a∩e) 2- P(āUē) 3- P(e – a)
الحل:
1- P(a∩e) = P(a) + P(e) – P(aUe)
= 0.45 + 0.6 – 0.8
= 0.25
2- P(āUē) = P(a∩e)¯
= 1 – P(a∩e)
= 1 – 0.25
= 0.75
3- P(e – a) = P(e) – P(a∩e)
= 0.6 – 0.25
= 0.35
15) إذا كان ( S , P) فضاء احتمال ، a , е Ì S حيث أن:
P(a) = 0.6 , P(e) = 0.45 , P(a∩e) = 0.25
أحسب كل من:
1- P(aUe) 2- P(ā∩ē) 3- P(ā – e)
الحل:
1- P(aUe) = P(a) + P(e) – P(a∩e)
= 0.6 + 0.45 – 0.25
= 0.8
2- P(ā∩ē) = P(aUe)¯
= 1 – P(aUe)
= 1 – 0.8
= 0.2
3- P(ā – e) = P(ā) – P(ā∩e)
= 1 – P(a) – [P(e) – P(a∩e)]
= 1 – 0.6 – [0.45 – 0.25]
= 0.4 – 0.2
= 0.2
يمكننا التوصل للحل باستخدام شكل فن كما يلي:
القيم في الشكل هي 0.25 للتقاطع ويكون:
الباقي من е جهة اليسار = 0.45 – 0.25 = 0.20
وكذلك الجزء المتبقي من a جهة اليمين = 0.6 – 0.25 = 0.35
والجزء الأخضر = 1 – (0.35 + 0.25 + 0.20) = 0.20
ويكون:
1- P(aUe) = 0.20 + 0.25 + 0.35 = 0.8
2- P(ā∩ē) = P(aUe)¯
= 0.20 الجزء الأخضر
3ـ خارج الجزء الأبيض من a مطروحاً منه е أي:
3- P(ā – e) =1 – 0.65 – 0.45
= 0.20
(1) في تجربة إلقاء حجري نرد (واحد وراء الآخر) احسب احتمال الحصول على مجموع الوجهين الظاهرين يساوي 6 شرط الوجه الأول عدد زوجي.
بفرض أن A = حدث المجموع يساوي 6 {(1 ، 5) ، (2 ، 4) ، (3 ، 3) ، (4 ، 2) ، ( 5 ، 1)} ← P(A) = 5÷36
B = حدث الوجه الأول زوجي {(2 ،1) ، (2 ، 2) ، ... ، ( 6 ، 6)} ← P(B) = 18 ÷ 36
A∩B = حدث المجموع 6 والوجه الأول زوجي {(2 ،4) ، (4 ، 2)} ← P(A∩B) = 2÷36
المطلوب هو : P(A / B)s
P(A ∩ B)
P(A / B) = ـــــــــــــــــــــــــ
P(B)
2÷36
P(A / B) = ـــــــــــــــــ
18÷36
P(A / B) = 0.1111
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
لاحظ : احتمال الحصول على الوجه الأول زوجي بشرط مجموع الوجهين يساوي 6 هو (2÷36) ÷ (5÷36) = 2÷5 = 0.4
لاحظ: يمكن قصر عدد عناصر الفضاء من الشرط المعطى فالقول بشرط المجموع يساوي 6 فيعني {(1 ، 5) ، (2 ، 4) ، (3 ، 3) ، (4 ، 2) ، ( 5 ، 1)} وعدد العناصر للفضاء الجديد هو 5 من بينهم زوجان فيهم الوجه الأول زوجي وعليه يكون الاحتمال المطلوب هو 2 ÷ 5 = 0.4
