مثال عملي على معامل الانحدار البسيط والمتعدد

 

مثال عملي على معامل الانحدار البسيط والمتعدد

---

أولاً: معامل الانحدار الخطي البسيط

التعريف:
يُستخدم الانحدار الخطي البسيط لدراسة العلاقة بين متغيرين فقط:

• متغير تابع ($Y$).
• متغير مستقل ($X$).

المعادلة:

$$Y = a + bX$$

حيث:

• $a$: ثابت المعادلة (الجزء المقطوع من محور $Y$).
• $b$: معامل الانحدار، ويُعبر عن مقدار التغير في $Y$ عند زيادة $X$ بمقدار 1 وحدة.
• $X$: المتغير المستقل.
• $Y$: المتغير التابع.

المثال العملي:

المشكلة:
لنفترض أننا نريد دراسة العلاقة بين عدد ساعات الدراسة ($X$) ودرجات الطلاب في الامتحان ($Y$).

عدد ساعات الدراسة ($X$)	الدرجات ($Y$)
2	50
3	60
5	80
7	90
9	95

الخطوات:

1. حساب المتوسطات:

   • $\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = 5.2$
   • $\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{50 + 60 + 80 + 90 + 95}{5} = 75$

2. حساب معامل الانحدار ($b$) باستخدام الصيغة:

$$b = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$$

• حساب الفروق $(X_i - \bar{X})$ و$(Y_i - \bar{Y})$، ثم حاصل ضربها ومربعاتها.

الحساب النهائي:
بعد الحسابات، نفترض أن $b = 5$.

3. حساب الجزء المقطوع ($a$) من المعادلة:

$$a = \bar{Y} - b \cdot \bar{X}$$ $$a = 75 - 5 \cdot 5.2 = 75 - 26 = 49$$

4. المعادلة النهائية للانحدار:

$$Y = 49 + 5X$$

التفسير:

• لكل زيادة بمقدار ساعة واحدة في الدراسة ($X$)، تزيد درجات الطالب ($Y$) بمقدار 5 درجات.

استخدام المعادلة للتنبؤ:
إذا درس طالب لمدة 6 ساعات ($X = 6$)، فإن:

$$Y = 49 + 5(6) = 49 + 30 = 79$$

إذن، نتوقع أن يحصل الطالب على 79 درجة.

---

ثانيًا: معامل الانحدار الخطي المتعدد

التعريف:
يُستخدم الانحدار الخطي المتعدد لدراسة العلاقة بين متغير تابع ($Y$) ومتغيرين أو أكثر مستقلين ($X_1, X_2, \dots$).

المعادلة:

$$Y = a + b_1X_1 + b_2X_2 + \dots + b_nX_n$$

حيث:

• $a$: الجزء المقطوع (الثابت).
• $b_1, b_2, \dots$: معاملات الانحدار لكل متغير مستقل.
• $X_1, X_2, \dots$: المتغيرات المستقلة.
• $Y$: المتغير التابع.

---

المثال العملي:

المشكلة:
نريد دراسة تأثير كل من:

• عدد ساعات الدراسة ($X_1$).
• عدد ساعات النوم ($X_2$).

على درجات الطلاب ($Y$).

عدد ساعات الدراسة ($X_1$)	عدد ساعات النوم ($X_2$)	الدرجات ($Y$)
2	7	50
3	6	60
5	5	80
7	6	90
9	4	95

---

الخطوات الأساسية:

1. تقدير معاملات الانحدار $b_1, b_2$ والجزء المقطوع $a$:
   يتم ذلك باستخدام البرامج الإحصائية (مثل Excel أو SPSS أو Python) أو بالطرق الحسابية باستخدام الصيغ المصفوفية.

2. المعادلة النهائية (كمثال):
   بعد إجراء الحسابات:

$$Y = 20 + 4X_1 + 3X_2$$

---

التفسير:

• معامل $b_1 = 4$: لكل زيادة بمقدار ساعة في الدراسة ($X_1$)، تزداد الدرجات بمقدار 4 درجات.
• معامل $b_2 = 3$: لكل زيادة بمقدار ساعة في النوم ($X_2$)، تزداد الدرجات بمقدار 3 درجات.

---

التنبؤ باستخدام المعادلة:

إذا درس طالب لمدة 6 ساعات ونام لمدة 5 ساعات:

$$Y = 20 + 4(6) + 3(5)$$ $$Y = 20 + 24 + 15 = 59$$

إذن، نتوقع أن يحصل الطالب على 59 درجة.

---

الفرق بين الانحدار البسيط والمتعدد

الخاصية	الانحدار البسيط	الانحدار المتعدد
عدد المتغيرات المستقلة	متغير مستقل واحد	متغيرين أو أكثر
المعادلة	$Y = a + bX$	$Y = a + b_1X_1 + b_2X_2$
التفسير	تأثير متغير واحد فقط	تأثير عدة متغيرات مجتمعة
التطبيق	حالات بسيطة	حالات معقدة ذات عوامل كثيرة