معامل الارتباط المتعدد (Multiple Correlation Coefficient)

 

معامل الارتباط المتعدد هو مقياس إحصائي يُستخدم لقياس قوة واتجاه العلاقة بين متغير تابع (Dependent Variable) ومجموعة من المتغيرات المستقلة (Independent Variables). يُعتبر هذا المقياس امتدادًا لمعامل الارتباط البسيط ليشمل أكثر من متغير مستقل.

---

رمز معامل الارتباط المتعدد

يُرمز له بالرمز $R$ (رأس المال).

• يكون $R$ دائمًا بين $0$ و $1$:
  • $R = 0$: عدم وجود علاقة بين المتغيرات.
  • $R = 1$: وجود علاقة خطية مثالية بين المتغير التابع والمتغيرات المستقلة.
  • كلما اقترب $R$ من 1 زادت قوة العلاقة الخطية.

---

الصيغة الرياضية

لحساب معامل الارتباط المتعدد بين المتغير التابع $Y$ ومجموعة من المتغيرات المستقلة $X_1, X_2, \dots, X_n$:

$$R = \sqrt{R^2}$$

حيث أن:

• $R^2$: معامل التحديد (Coefficient of Determination)، ويعبر عن نسبة التباين المفسر من قِبل المتغيرات المستقلة في النموذج.

---

تفسير $R^2$ ومعامل الارتباط المتعدد $R$:

• $R^2$: يُستخدم لتحديد نسبة التباين في المتغير التابع $Y$ التي يمكن تفسيرها بواسطة المتغيرات المستقلة.
• معامل الارتباط المتعدد $R$: هو الجذر التربيعي لمعامل التحديد $R^2$.

---

العلاقة بين معامل الارتباط ومعامل التحديد

إذا كان لدينا:

$$R = \sqrt{R^2}$$

فإن:

• كلما زادت قيمة $R^2$، زادت قدرة المتغيرات المستقلة على تفسير التباين في المتغير التابع.
• إذا كانت $R^2 = 0.81$، فإن $R = \sqrt{0.81} = 0.9$.

---

كيفية حساب معامل الارتباط المتعدد

يمكن حساب $R$ باستخدام الطرق الإحصائية المختلفة مثل:

1. تحليل الانحدار الخطي المتعدد (Multiple Linear Regression):
   حيث يتم نمذجة العلاقة بين المتغير التابع والمتغيرات المستقلة.
2. المعادلات المصفوفية (Matrix Equations):
   تُستخدم طرق مصفوفية عند التعامل مع بيانات متعددة الأبعاد.

---

استخدامات معامل الارتباط المتعدد

1. التنبؤ (Prediction):

   • يُستخدم لتحليل البيانات وبناء نماذج إحصائية للتنبؤ بقيمة المتغير التابع.
   • مثال: تقدير سعر منزل بناءً على مساحة الأرض، وعدد الغرف، والموقع.

2. فهم العلاقات بين المتغيرات:

   • يساعد في دراسة تأثير مجموعة من المتغيرات المستقلة على المتغير التابع.
   • مثال: دراسة العلاقة بين أداء الطلاب (المتغير التابع) والعوامل مثل عدد ساعات الدراسة، الدروس الخصوصية، والمشاركة في الأنشطة.

3. تحليل البيانات الاقتصادية:

   • يستخدم في الاقتصاد لتحليل العوامل المؤثرة على الناتج القومي أو معدلات البطالة.

4. الدراسات العلمية والطبية:

   • يُستخدم لتقييم العلاقة بين مجموعة من العوامل الصحية (مثل العمر، الوزن، والنشاط البدني) ومستوى الكولسترول لدى الأفراد.

---

أهمية معامل الارتباط المتعدد

• يُوفر أداة إحصائية لفهم العلاقات المتعددة بين المتغيرات.
• يُساعد على تفسير مدى ارتباط المتغيرات المستقلة بالمتغير التابع.
• يُستخدم بشكل واسع في بناء النماذج التنبؤية وتحليل البيانات.

---

الفرق بين معامل الارتباط البسيط والمتعدد

الخاصية	معامل الارتباط البسيط $r$	معامل الارتباط المتعدد $R$
عدد المتغيرات المستقلة	متغير مستقل واحد	متغيرين أو أكثر
العلاقة	ثنائية فقط	متعددة (Linear Combination)
نطاق القيم	من -1 إلى 1	من 0 إلى 1