معامل الاختلاف (Coefficient of Variation)

 

معامل الاختلاف (Coefficient of Variation)

تعريف معامل الاختلاف: معامل الاختلاف هو مقياس إحصائي يُستخدم لتحديد نسبة التشتت أو التباين في البيانات بالنسبة إلى المتوسط الحسابي.
يُعبّر عنه كنسبة مئوية، ويُفيد في مقارنة مقدار التشتت بين مجموعتين من البيانات حتى وإن كانت وحدات القياس مختلفة أو المتوسطات مختلفة.

---

الصيغة الرياضية:

$$CV = \left( \frac{\sigma}{\bar{X}} \right) \times 100$$

حيث:

• $CV$: معامل الاختلاف (Coefficient of Variation).
• $\sigma$: الانحراف المعياري للبيانات.
• $\bar{X}$: المتوسط الحسابي.

---

أهمية معامل الاختلاف:

• المقارنة بين مجموعتين من البيانات: يُستخدم للمقارنة بين مقدار التشتت النسبي لمجموعات بيانات مختلفة الحجم أو الوحدات.
• تقييم الاستقرار: كلما كان معامل الاختلاف أصغر، دل ذلك على أن البيانات أكثر تجانسًا واستقرارًا.
• الاقتصاد والإدارة: يُستخدم لتقييم الأداء المالي أو الإنتاجي بين فئات مختلفة.

---

مثال عملي:

المشكلة:
لنفترض أن لدينا بيانات عن درجات اختبار لطلاب مجموعتين مختلفتين:

• المجموعة الأولى: متوسط درجاتها $\bar{X}_1 = 80$ وانحرافها المعياري $\sigma_1 = 10$.
• المجموعة الثانية: متوسط درجاتها $\bar{X}_2 = 50$ وانحرافها المعياري $\sigma_2 = 15$.

نريد أن نحدد أي من المجموعتين لديها تشتت أعلى بالنسبة إلى متوسطها.

---

الحل:

1. حساب معامل الاختلاف للمجموعة الأولى:

$$CV_1 = \left( \frac{\sigma_1}{\bar{X}_1} \right) \times 100$$ $$CV_1 = \left( \frac{10}{80} \right) \times 100 = 12.5\%$$

2. حساب معامل الاختلاف للمجموعة الثانية:

$$CV_2 = \left( \frac{\sigma_2}{\bar{X}_2} \right) \times 100$$ $$CV_2 = \left( \frac{15}{50} \right) \times 100 = 30\%$$

---

التفسير:

• المجموعة الأولى: معامل الاختلاف $12.5\%$.
• المجموعة الثانية: معامل الاختلاف $30\%$.

النتيجة:
التشتت النسبي في المجموعة الثانية أكبر من التشتت في المجموعة الأولى، لأن معامل الاختلاف أعلى.
وهذا يعني أن درجات الطلاب في المجموعة الثانية أقل استقرارًا وتجانسًا من المجموعة الأولى.

---

ملاحظات مهمة:

• إذا كان المتوسط الحسابي قريبًا من الصفر: يمكن أن يؤدي ذلك إلى معامل اختلاف كبير، لذا ينبغي الحذر عند استخدامه.
• الوحدة غير مؤثرة: معامل الاختلاف نسبة مئوية، لذا يمكن استخدامه للمقارنة بين بيانات ذات وحدات قياس مختلفة (مثل مقارنة التشتت في الدخل بالدولار وتشتت الوزن بالكيلوغرام).