مثال(12)
مجتمع إحصائي مكون من 25 مفردة وانحرافه المعياري 6 فما قيمة مجموع مربعات انحرافات قيم المفردات عن متوسطها الحسابي.
الحـل:
نعلم أن العلاقة الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري هي :
مجموع مربعات انحراف القيم عن متوسطها
مربع الانحراف المعياري = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عددها
مجموع مربعات انحراف
36 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
24
مجموع مربعات انحراف = 36 × 25 = 900
لاحظ:
هناك علاقة أخرى تخص الانحراف المعياري للعينة وهي:
وفي حالة المجتمع نستبدل n – 1 بـ N (عدد القيم) وإن مربع الانحراف المعياري هو التباين σ2 فمثلاً:
لدينا 36 قيمة تكون مجتمع إحصائي وكان مجموع مربعات هذه القيم 196 في حين مجموع القيم نفسها يساوي 35 فما قيمة التباين؟
بتطبيق العلاقة السابقة نجد أنَّ:
175 – 35 × 35 ÷ 35 140
التباين = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = 4
35 35
لاحظ: الانحراف المعياري = 2
مثال(11)
الوسط الحسابي لدرجات 40 طالب في الإحصاء هو 64 ولمخالفة 3 طلاب أنظمة الامتحان فقد استبعدت درجاتهم وهي 60، 65، 40 . هل يتأثر الوسط الحسابي بهذا التغيير؟ وإن كان فاحسب الوسط الحسابي الجديد.
الحـل:
نعلم بأن الوسط الحسابي يتأثر بالتغير في المفردات بالزيادة والنقصان والضرب والقسمة، فالوسط الحسابي الجديد يتغير لكونه يساوي مجموع الدرجات لكل المفردات على عددها ومن حيث أن المفردات نقصت فالوسط الحسابي يتأثر بهذا النقص.
مجموع الدرجات
الوسط الحسابي = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
عددها
مجموع الدرجات
64 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
40
مجموع الدرجات = 64 × 40 = 2560
استبعدت درجات 3 مفردات مجموعها = 60 + 65 + 40 = 165
مجموع الدرجات الجديد = 2560 – 165= 2395
عدد الطلاب انخفض من 40 إلى 37
2395
الوسط الحسابي الجديد = ـــــــــــــــــــــ
37
= 64.729
≈ 65
لاحظ: قد يحدث عدم تغير في الوسط الحسابي نتيجة الصدفة فلو كانت الدرجات الثلاثة المحذوفة هي 60 ، 62، 70 لحصلنا على وسط جديد يساوي 64 نفس الأول؟
مثال(11)
الوسط الحسابي لدرجات 40 طالب في الإحصاء هو 64 بانحراف معياري قدره 5، حذفنا 4 علامات من كل طالب ثم ضربنا كل درجة من درجات الطلاب في 2. احسب كل من الوسط الحسابي والانحراف المعياري الجديد.
الحـل:
نعلم بأن الوسط الحسابي يتأثر بالتغير في المفردات بالزيادة والنقصان والضرب والقسمة في حين لا يتأثر الانحراف المعياري بالجمع والطرح ويتأثر بالضرب والقسمة.
الوسط الحسابي الجديد = (الوسط الحسابي الأول – 4 ) × 2
= (64 – 4) × 2
= 120
الانحراف المعياري الجديد = الانحراف المعياري الأول ÷ 2
= 5 ÷ 2
= 2.5
أو
مجموع الدرجات
الوسط الحسابي = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
عددها
مجموع الدرجات
64 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
40
مجموع الدرجات = 64 × 40 = 2560
استبعدت 4 درجات من كل مفردة فيكون مجموع الدرجات بعد الحذف:
مجموع الدرجات الجديد = 2560 – 40 × 4 = 2560 – 160 = 2400
ضربت كل مفردة في 2 أي ضاعفنا كل مفردة أو ضاعفنا مجموع الدرجات فيكون:
مجموع الدرجات الجديد بعد الحذف والضرب = 2400 × 2 = 4800
4800
الوسط الحسابي الجديد = ـــــــــــــــــــــ
40
= 120
