التحليل ألعاملي (Factor Analysis)

 التحليل ألعاملي (Factor Analysis)

التحليل ألعاملي هو طريقة إحصائية تعمل على تلخيص العديد من المتغيرات (30 مثلاً) لعدد أقل يعرف بالعوامل (Factors) حيث كل مجموعة من المتغيرات تربط بعامل واحد فقط بواسطة دالة بحيث يمكن إرجاع مجموعة من الاختبارات بعامل الذكاء (مثلاً) أو عامل التحصيل أو ... حيث ترتبط المتغيرات في العامل ارتباطاً علياً فيما بينها وضعيفاً مع الأخرى، والتحليل ألعاملي يهدف لاستخلاص مجموعة من العوامل ترتبط بالمتغيرات الأصلية على أن تفسر أكبر نسبة ممكنة من التباين للمتغيرات الأصلية أو تقليص عدد المتغيرات في عدة عوامل فبدلاً من وجود 20 متغيراً يكون لدينا خمسة عوامل أو أقل ويمكن اعتبار هذه العوامل متغيرات ويجرى عليها تحليل يعرف بالتحليل العاملي من الدرجة الثانية، والدالة بين المتغيرات الأصلية والعوامل المكونة لها هي:

F₁ = α₁₁X₁ + α₁₂X₂ + α₁₃X₃ + ... + α_1nX_n

F₂= α₂₁X₁ + α₂₂X₂ + α₂₃X₃ + ... + α_2nX_n

F₃ = α₃₁X₁ + α₃₂X₂ + α₃₃X₃ + ... + α_2nX_n

.......   ...........   ......   .......   ......  ......   ......

               F_n = α_m1X₁ + α_m2X₂ + α_m3X₃ + ... + α_mnX_n  , m > n

 

    ويمكن كتابة المعاملات في المعادلات السابقة على شكل مصفوفة (Matrix) تعرف بمصفوفة الارتباط وقد تكون مستطيلة أو مربعة (عدد الصفوف = عدد الأعمدة)

حيث عناصر المصفوفة قيم معاملات الارتباط بين المتغيرات فتقاطع الصف مع العمود هو قيمة معامل الارتباط .

وهنا يجب التقيد بالاتي لإيجاد العوامل من المتغيرات:

*  العامل الأول هو الأكثر ارتباطاً بالمتغيرات

*  يتواجد في كل عامل المعاملات الصفرية

*  سهولة تفسيرها بعلاقاتها مع المتغيرات الأصلية

إذا كان لدينا متغيران معامل الارتباط بينهما يساوي 0.65 فيكون لدينا الجدول (مصفوفة) التالي:

Variables	1	2
1	1.00	0.65
2	0.65	1.00

إذا كان لدينا n من المتغيرات فيكون لدينا n(n––1)/2 معامل ارتباط  أو 1 + 2 + 3 + ... + (n––1)  فمثلاً وجود 5 متغيرات يعطي 5×4/2 = 10 معامل ارتباط .

الجدول التالي يبن معاملات الارتباط لستة متغيرات ( عدد معاملات الارتباط = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 أو 6 × 5 ÷ 2 = 15 مبينة في الجدول الآتي:

 

Variables	1	2	3	4	5	6
1	1.00	0.65	0.70	0.45	0.30	0.35
2	0.65	1.00	0.55	0.75	0.37	0.40
3	0.70	0.55	1.00	0.66	0.57	0.45
4	0.45	0.75	0.66	1.00	0.61	0.51
5	0.30	0.37	0.57	0.61	1.00	0.74
6	0.35	0.40	0.45	0.51	0.74	1.00

تعرف هذه المصفوفة المربعة بمصفوفة الارتباط المربعة ويلاحظ أن:

1) القيم أعلى الفطر هي نفسها أسفل القطر وعدد كل منها = 15 أي أن القطر قسم المصفوفة لنصفين متماثلين لكون علاقة الارتباط إبدالية.

2) القيمة 1 هي معامل ارتباط المتغير مع نفسه.

3) عدد معاملات الارتباط = 15 من الصيغة  1 + 2 + 3 + ... + (n––1)  أو الصيغة  n(n––1)/2

4) حساب معاملات الارتباط يتم بالطرق المعروفة بصرف النظر عن اختلافها فكلها صالحة للتحليل ألعاملي.

معامل الشيوع (Communality)

     ذكرنا مفهوم العامل بأنه مجموعة من المتغيرات والمتغير أما أن يكون مستقل بمعنى له ارتباط  عالي مع عامل واحد وليس له ارتباط مع بقية العوامل أو أن المتغير يشترك مع أكثر من عامل ويعرف بالعامل الشائع أو عامل عام ودرجة شيوعه تعرف بـ Community كعامل الذكاء لظهوره في أنشطة عديدة كالإبداع والتفكير و ...

    والعامل يضم على الأقل ثلاث متغيرات والمتغير الشائع ذو مقادير مختلفة في كل عامل بصرف النظر عن اسهاماته جوهرية أو غير ذلك، ومجموع مربعات اسهاماته على عوامل المصفوفة هي قيمة شيوع المتغير ، والتباين الكلي للمتغير = قيمة شيوعه + تباين الخطأ.

الجذر الكامن Eigen Value

    هو مجموع مربعات اسهاماته كل المتغيرات على كل عامل من عوامل المصفوفة كلاً على حدة وأن قيمته تتناقص من عامل لآخر حسب الترتيب فالعوامل الأولى ذات جذر كامن أكبر مما يليها وهو أما أن يكون أكبر من الواحد الصحيح فنقبله كعامل وإلا فيرفض كعامل.

تدوير المحاور Rotation of Axes

    إذا تشبع متغير بعاملين نعتبر تشبعه بالعامل الأول وإحداثية على محور السينات وتشبعه بالعامل الثاني إحداثية على المحور الصادي بمعنى العامل الأول ممثل بالمحور السيني والعامل الثاني ممثل بالمحور الصادي والنقطة الناشئة في مستوى الإحداثيات (نقطة ثابتة) فتدوير المحاور مع ثبات النقطة فينتج تغير في أبعاد النقطة عن المحورين أي تغير في تشبعها بهذين العاملين وهو ما يؤدي لتغير ارتباطها بالعاملين.

ومن المعروف بأن أي متجهين متعامدين حاصل ضربهم = صفر مما يعني أن العاملين الأول والثاني الممثلين للمحورين السيني والصادي المتعامدين فالارتباط بينهم صفر أي لا ارتباط بينهم مهما تغير موضع المحورين طالما بقيا متعامدين، ولكن دوران المحاور يغير في وضع المتغير كخروج تشبعه من عامل ودخوله في عامل آخر أو العكس أو تتغير بعض المتشبعات السالبة لموجبة أو العكس وهو ما يقودنا لهدف التدوير وهو إعادة توزيع التشبعات للمتغيرات على العوامل حتى لا يؤثر تشبع العامل الأول مثلاً على باقي العوامل إلا أن التدوير ليس بالأمر السهل فلا بد للباحث أن يكون ذو دراية للقيام بعملية التدوير.

    التدوير أما أن يكون التدوير متعامد بفرض استقلالية العوامل أو يكون التدوير مائل بفرض عدم استقلالية العوامل، وعلماء النفس لا يرغبون في التدوير على السيكولوجيين يرونه ضرورة.

    توجد معادلة لتحديد الحد الأدنى من المتغيرات للحصول على عدد معين من العوامل والصيغة الرياضية هي:

حيث n عدد العوامل المتوقعة فبوضع n = 6 فنعوض في المعادلة

أي للحصول على 6 عوامل يلزم وجود 10 متغيرات

التمثيل الهندسي لمعامل الارتباط:

    يمثل معامل الارتباط بين متغيرين هندسياً بالزاوية بينهم حيث أن:r = cos(θ)i حيث θ الزاوية بين المتجهين الممثلان للمتغيرين وتحسب θ من جدول الجيب تمام أو من الآلة الحاسبة أو الحاسب الآلي والشكل التالي يبين ذلك حيث لدينا متغيرين معامل الارتباط بينهم i0.5وهي تقابل زاوية i60°من جدول الجيب تمام.