الانحدار غير الخطي البسيط الانحدار غير الخطي المتعدد

 الانحدار غير الخطي البسيط Non Linear Regression                       الانحدار غير الخطي المتعدد

    ذكرنا سابقاً الانحدار الخطي وصورته Y = α + βX وأوجدنا قيم الثوابت وهنا سنبين المعادلة لمنحنى بدل من معادلة الخط المستقيم السابق ذكرها ويعود السبب لمعادلة المنحنى على شكل الانتشار أو نتيجة لخبرة سابقة بأن المتغيرات الموجودة لدينا وهي محل الدراسة علاقات غير الخطية وغالباً تكون في الظواهر الاقتصادية كعلاقة معدل الكلفة بكمية الإنتاج Y = a + b X + c X²  وهي معادلة من الدرجة الثانية حيث a, b , c قيم ثابتة وتعرف بعلاقة الانحدار ألتربيعي والهدف الحصول على أفضل خط انحدار سواء كان خطي أو غير خطي والأفضلية بدءاً للخط المستقيم وإلا نقوم بإضافة تربيع أو تكعيب المتغير المستقل X وإن كنا نعلم مسبقاً بأن المتغيرات لدينا ذات علاقة تربيعية مثلاً فنبدأ باحتسابها وسنتعرض هنا للانحدار غير الخطي البسيط والمتعدد.

الانحدار غير الخطي البسيط Simple Non-Linear Regression

    سبق دراسة الانحدار الخطي البسيط Y = a + b X وحسبنا a, b من:

 ويختلف غير الخطي البسيط  عن الخطي البسيط فيما يلي:

المعامل a الثابت ليس حداً ( كما في Y = a + b X) فظهر بالصورة Y = aX^b يمكن تحويلها لخطية (لوغاريتم) أو Y = a b^x يمكن تحويلها لخطية (لوغاريتم) أو كمعادلة لوغاريتمي Y = a + LinX كما يمكن بتحويلها لخطية بتغير تعريف المتغيرات فمثلاً  Y = aX^b بأخذ لوغاريتم الطريفين نحصل على LinY = Lina + b LinX  وذلك حسب قوانين الأسس وبوضع LinY = Y , Lina = a , LinX = X نحصل على المعادلة المرادفة Y = a + bX وبالتالي نحسب قيم a , b من:

ويمكن تقدير المتغير بإعادة تعريف المتغيرات كما في المعادلة Y = a + b/X أي  Y = a + b(1/x)s وهنا نستخدم نفس القوانين السابقة بوضع s1/X بدل من X أي:

ويمكن تقدير المتغير بإعادة تعريف المتغيرات كالمعادلة Y = a + b LinX وتعرف بالمعادلة نصف اللوغاريتمية باستبدال LinX بدل من s1/X في الصيغ السابقة أي:

مثال:

    الجدول التالي يبين استهلاك 10 عائلات من اللحوم بالكيلوجرام (Y) ومعدل دخلها الشهري بالدينار X والمطلوب تقدير معادلات الانحدار لاستهلاك اللحوم بدلالة الدخل الشهري ثم قدر استهلاك اللحم لعائلة معدل دخلها 250 دينار باستخدام كل من المعادلات المطلوبة.

1) المعادلة الأسية Y = aX ^b        

2) المعادلة العكسية  Y = a + b(1/x)s

3) المعادلة نصف اللوغاريتمية Y = a + LinX

4) المعادلة الأسية μ_y/x = C D^x

 

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	العائلة
300	270	220	200	250	260	255	290	300	250	الدخل الشهري بالدينار
60	50	40	40	55	50	52	44	42	45	الاستهلاك بالكيلوجرام

الحل:                            حل 2)                حل 3)                حل 4)

1)  Y = aX ^b نحولها لمعادلة لوغاريتمية يأخذ اللوغاريتم للطرفين فنحصل على:

LinY = Lin(aX ^b) = Lin a + Lin(X ^b) = Lin a + b LinX Then

LinY = Lin a + b LinX

    نكون الجدول الشامل للبيانات أعلاه كما يلي

LinX LinY	LinY	LinX	LinX2	X2	الاستهلاك بالكيلوجرام(Y)	الدخل الشهري بالدينار(X)	العائلة
21.0183	3.8067	5.5215	11.0429	62500	45	250	1
21.3189	3.7377	5.7038	11.4076	90000	42	300	2
21.4559	3.7842	5.6699	11.3398	84100	44	290	3
21.8949	3.9512	5.5413	11.0825	65025	52	255	4
21.7535	3.9210	5.5607	11.1214	67600	50	260	5
22.1263	4.0073	5.5215	11.0429	62500	55	250	6
19.5449	3.6889	5.2983	10.5966	40000	40	200	7
19.8964	3.6889	5.3936	10.7873	48400	40	220	8
21.9012	3.9120	5.5984	11.1968	72900	50	270	9
23.3533	4.0943	5.7038	11.4076	90000	60	300	10
214.2635	38.5832	55.5127	111.0254		478	2595	Total

    نحسب b , a من الصيغ السابقة

 

 

        10(214.2635) – (55.5127)(38.5832)

b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                10(111.0254)  – (55.5127)²

 

 

        2142.635 – 2141.8576

b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

        1110.254  – 3081.6600

 

            0.7774

b = ــــــــــــــــــــــــــــ

        – 1971.406

 

b = – 0.00039 ≈  – 0.0004

 

            38.5832 – (– 0.0004)55.5127)

Lina = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                10

 

             38.5832 + 0.0222

Lina = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                       10

 

Lina = 3.8605

 

a = e^3.8605

 

a = 47.4891 ≈ 47.5

 

Y = 47.5X^{– 0.0004}     Or    LinY = 1.6767 – 0.0004LinX    (lin(47.5 = 1.6767)

والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:

Y = 47.5X^{– 0.0004}    

 

Y = 47.5(250)^{– 0.0004}

 

Y = 47.5 × 0.9978

 

Y = 47.3955  ≈ 47

 

Or

 

LinY = 1.6767 – 0.0004LinX

 

LinY = 1.6767 – 0.0004Lin(250)

 

LinY = 1.6767 – 0.0004× 2.3979

 

LinY = 1.6767 – 0.0010

 

LinY = 1.6757

 

Y = 47.3915 ≈ 47

 

---

 

2) الحل باستخدام  المعادلة العكسية:Y = a + b(1/x)s نعوض في الصيغ المبينة أسفل الجدول التالي:

 

 

(1/X)2	(1/X)Y	1 / X	الاستهلاك بالكيلوجرام(Y)	الدخل الشهري بالدينار(X)	العائلة
0.000016	0.18000	0.00400	45	250	1
0.000011	0.14000	0.00333	42	300	2
0.000012	0.15172	0.00345	44	290	3
0.000015	0.20392	0.00392	52	255	4
0.000015	0.19231	0.00385	50	260	5
0.000016	0.22000	0.00400	55	250	6
0.000025	0.20000	0.00500	40	200	7
0.000021	0.18182	0.00455	40	220	8
0.000014	0.18519	0.00370	50	270	9
0.000011	0.20000	0.00333	60	300	10
0.000156	1.85496	0.03913	478	2595	Total

 

 

        10(1.85496) – (0.03913)(478)

b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

           10(0.000156)  – (0.03913)²

 

 

        18.5496 – 18.70414

b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

        0.00156  – 0.001531

 

 

       – 0.15454

b = ــــــــــــــــــــــــــــ

           0.00003

 

b = – 5151.3 ≈ – 5151

 

 

         478 – ( – 5151.3 × 0.03913)

a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                            10

 

        478 + 201.57

a = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                10

 

a = 67.957 ≈ 68

 

والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:

 

Y = 67.957 – 5151.3(1/x)s

 

Y = 67.957 – (5151.3 ÷ 250)

 

Y = 67.957 – 20.605

 

Y = 47.352 ≈ 47.4

---

 

3) الحل باستخدام  المعادلة نصف اللوغاريتمية:Y = a + b LinXs نعوض في الصيغ المبينة أسفل الجدول التالي:

 

Y LinX	LinX	LinX2	X2	الاستهلاك بالكيلوجرام(Y)	الدخل الشهري بالدينار(X)	العائلة
248.4657	5.5215	11.0429	62500	45	250	1
239.5589	5.7038	11.4076	90000	42	300	2
249.4748	5.6699	11.3398	84100	44	290	3
288.1457	5.5413	11.0825	65025	52	255	4
278.0341	5.5607	11.1214	67600	50	260	5
303.6804	5.5215	11.0429	62500	55	250	6
211.9327	5.2983	10.5966	40000	40	200	7
215.7451	5.3936	10.7873	48400	40	220	8
279.9211	5.5984	11.1968	72900	50	270	9
342.2269	5.7038	11.4076	90000	60	300	10
2657.1853	55.5127	111.0254		478	2595	Total

 

 

        10(2657.1853) – (55.5127)(478)

b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

         10(111.0254)  – (55.5127)²

 

 

        26571.853 – 26535.0706

b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

         1110.254  – 3081.6599

 

 

           36.7824

b = ــــــــــــــــــــــــــــ

       – 1971.4059

 

b = – 0.0187 ≈ – 0.02

 

 

         478 – ( – 0.0187 × 55.5127)

a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                            10

 

        478 + 1.0381

a = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                10

 

a = 47.9038 ≈ 47.9

 

والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:

 

Y = a + LinX

 

Y = 47.9 + (– 0.02)(Lin250)

 

Y = 47.9 – 0.11

 

Y = 47.8

 

---

4) الحل باستخدام  المعادلة الأسية

 أحياناً يكون شكل الانتشار (المبين بالشكل) للبيانات الفعلية دالاً إلى متوسطات μ_y/x  يمكن ضبطها لتمثل بالمنحنى الأسي    الذي صيغته  μ_y/x = C D^x  حيث أن C, D معاملات يمكن تقديرها من البيانات الفعلية والرمز لتقديرها هو c, d ، وتقدر ^μ_y/x بـ Ŷ  وتكون معادلة الانحدار الأسية للعينة هي:  Ŷ = c d^x ولتحويلها لمعادلة خطية نأخذ اللوغاريتم للأساس 10 للطرفين نجد أنَّ:

 

Log y = Log c + X Log d

بوضع a = Log c , b = Log d فتكون المعادلة:

Log y = a + b X

    ولحساب a , b نستخدم الصيغ التالية:

 

بتكوين جدول البيانات المطلوبة للصيغ السابقة وهو:

 

X Log y	Log y	X2	الاستهلاك بالكيلوجرام(Y)	الدخل الشهري بالدينار(X)	العائلة
413.3031	1.6532	62500	45	250	1
486.9748	1.6233	90000	42	300	2
476.6013	1.6435	84100	44	290	3
437.5809	1.7160	65025	52	255	4
441.7322	1.6990	67600	50	260	5
435.0907	1.7404	62500	55	250	6
320.4120	1.6021	40000	40	200	7
352.4532	1.6021	48400	40	220	8
458.7219	1.6990	72900	50	270	9
533.4454	1.7782	90000	60	300	10
4356.3154	16.7565	683025	478	2595	Total

 

بالتعويض في الصيغ السابقة نجد أن:

        10(4356.3154) – (2595)(16.7565)

b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

         10(683025)  – (2595)²

 

 

        43563.154 – 43483.1175

b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

        6830250  – 6734025

 

 

           80.0365

b = ــــــــــــــــــــــــــــ

           96225

 

b = 0.00083 ≈ 0.001 ,  b = Log d Then d = 1.0019 ≈ 1.002

 

 

         16.7565 – (0.0008 × 2595)

a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                            10

 

        16.7565 – 2.1539

a = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                   10

 

a = 1.4681 ≈ 1.5  , a = Log c Then c = 29.3833 ≈ 29.38

 

المعادلة المطلوبة

 Ŷ = c d^x

 

 

 Ŷ = 29.3833(1.0019)^X

والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:

 

 Ŷ = 29.3833(1.0019)²⁵⁰

 

 

 Ŷ = 47.2275 ≈ 47

والاستهلاك المطلوب لعائلة دخلها 250 دينار يكون:

Log y = a + bX

 

Log y = 1.4681 + 0.00083×250

 

Log y = 1.4681 + 0.2075

 

Log y = 1.6756

 

Y = 47.3805 ≈ 47

الانحدار غير الخطي المتعدد Non-Linear Multiple Regression

    سبق أن ذكرنا في مقدمة الانحدار غير الخطي البسيط بوجود أنواع من الانحدار غير الخطي والتي تضم العنصر X² أو X³ أي إضافة أحد العنصرين  X² أو X³ لمعادلة الانحدار غير الخطي البسيط ونحصل على معادلة الانحدار ألتربيعي ، ومعادلة الانحدار التكعيبي وسيتم عرضها هنا.

معادلة الانحدار ألتربيعي Quadratic Regression Equations                    معادلة الانحدار التكعيبي Cubic Regression Equation

    هذه المعادلة تعتبر من أبسط معادلات الانحدار غير الخطي المتعدد وهي معادلة من الدرجة الثانية ونشأت من إضافة العنصر X²  لمعادلة الانحدار الخطي البسيط وتأخذ الصورة الآتية:

 y = a + b X + c X²

 والمنحنى قطع مكافئ مفتوح من أعلى  (معامل  X² موجب a > 0) ورأسه نقطة صغرى أو مفتوح من أسف  (معامل  X² سالب a < 0) ورأسه نقطة عظمى والرأس في الحالتين له إحداثي سيني = – (b ÷ 2a) لاحظ الشكل:

لتحويل معادلة الانحدار ألتربيعي لمعادلة خطية نفرض الآتي:

   X₁ = X    ,    X₂ = X²  فتكون لدينا الصيغة:

y = a + b X₁+ c X₂  وبالتالي يمكن إيجاد قيم الثوابت باستخدام طريقة المربعات الصغرى وبنفس الطريقة التي استخدمت في معادلة الانحدار الخطي المتعدد  لحل المعادلات الثلاث التالية وسنفصل ذلك بالمثال التالي:

 ∑Y = na + b∑X₁ + c ∑X₂

 ∑X₁Y = a∑X₁ + b∑X₁² + c ∑X₁X₂

 ∑X₂Y = a∑X₂ + b∑X₁X₂ + c ∑X₂²

مثال:

    أوجد معادلة الانحدار ألتربيعي من جدول التوزيع التالي والذي يبين عدد الوحدات المنتجة بالمئات لستة أنواع من أجهزة الراديو (X) ومعدل كلفة الجهاز الواحد المنتج بالدينار البحريني (Y) ثم أوجد تقدير كلفة الجهاز الواحد عند X = 3.5 وأرسم الخط البياني للمعادلة.

6	5	4	3	2	1	عدد الأجهزة (X)
6	4	5	4	2	3	تكلفة الوحدة (Y)

الحل:

    نكون جدول البيانات المطلوبة لحل المعادلات الثلاث أعلاه للتعرف على قيم الثوابت a , b , c

Y2	X22	X12	X1X2	X2Y	X1Y	X2 (X2)	Y	X (X1)
9	1	1	1	3	3	1	3	1
4	16	4	8	8	4	4	2	2
16	81	9	27	36	12	9	4	3
25	256	16	64	80	20	16	5	4
16	625	25	125	100	20	25	4	5
36	1296	36	216	216	36	36	6	6
106	2275	91	441	433	95	91	24	Total 21

المعادلات المطلوب حلها هي:

24 = 6a + 21b +91c

95 = 21a + 91b + 441c

433 = 91a + 441b + 2275c

طرق حساب الثوابت

ناتج حل المعادلات	المعادلات بعد التعويض من الجدول أعلاه(الصف الأخير)	المعادلات
a = 2.3   b = 0.254    c = 0.054	24 = 6a + 21b +91c 95= 21a + 91b + 441c 433 = 91a + 441b + 2275c	∑Y = na + b∑X1 + c ∑X2  ∑X1Y = a∑X1 + b∑X12 + c ∑X1X2  ∑X2Y = a∑X2 + b∑X1X2 + c ∑X22

معادلة الانحدار ألتربيعي هي:  Y = 2.3 + 0.254 X₁ + 0.054 X₂  أي Y = 0.054 X² + 0.254 X + 2.3

معدل كلفة الجهاز الواحد عند X = 3.5 ، نعوض في المعادلة لحساب Y أي:

Y = 0.054(3.5)² + 0.254(3.5) + 2.3

Y = 0.6615 + 0.889 + 2.3

Y = 3.8505 ≈ 3.9

التمثيل البياني: ألإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ = – 0.254 ÷ 2× 0.054 = – 0.254 ÷ 0.108 = – 2.4

                    ألإحداثي الصادي لرأس القطع المكافئ =  0.054( –2.4 )² + 0.0254( –2.4 ) + 2.3 = 2

                    رأس القطع المكافئ ( – 2.4 ، 2) وهو مفتوح من أعلى كما مبين بالشكل