معامل ارتباط الرتب:

 معامل ارتباط الرتب: ( Rank Correlation Conefficient )

    هذا المعامل يعرف بمعامل ارتباط سبيرمان (Spearman) أو معامل ارتباط الرتب (رتب القيم الأصلية وليس القيم) ولذا تختلف قيمته عن قيمة معامل بيرسون (للقيم الأصلية وليس لرتبها) وهو أقل دقة من معامل ارتباط بيرسون ويتعامل مع البيانات الرقمية وغير الرقمية للترتيب مثل جيد، جيد جدا, ... ويرمز له بالرمز r_s  وهو ضمن الإحصاءات غير المعلمية ذات التوزيع الحر وقيمته موجبة أقل أو تساوي الواحد الصحيح وتحسب قيمته من الصيغة الرياضية علماً بأن:

حيث d الفرق بين رتبه حسب المتغير الأول x ورتبه حسب المتغير الثاني y (الفرق بين رتب القيم لكل زوج من البيانات) وفي حالة التساوي يأخذ المتوسط الحسابي (فإذا كانت لقيمتين متساويتين الرتبتين 7 ، 8 فيأخذ متوسط 7 ، 8 وتصبح الرتب لكل منها 7.5 بدل عن 7 ، 8) ، n عدد الأزواج للقيم فإذا كان لدينا مجموعة من الأفراد وجرى ترتيبهم حسب صفتين لكل فرد من المجموعة x , y  فإن d_i = x_i – y_i .

مثال:

    تقدم عشرة طلاب لامتحان المرحلة الثانوية وكانت معدلات نتائجهم حسب الصف والمدرسة كالتالي والمطلوب حساب معامل سبيرمان للارتباط.

74	92	88	65	71	89	66	70	80	73	معدل الطالب في الصف (X)
72	88	90	55	64	92	70	66	78	69	مدل الطالب في المدرسة (Y)

الحل:

    نكون جدول نبين فيه رتب كل من X (المعدل في الصف) و X (المعدل في المدرسة) والفرق d ومربع الفرق d² كالتالي:

 

X	Y	Rank X	Rank Y	d	d2
73	69	6	7	– 1	1
80	78	4	4	0	0
70	66	8	8	0	0
66	70	9	6	3	9
89	92	2	1	1	1
71	64	7	9	– 2	4
65	55	10	10	0	0
88	90	3	2	1	1
92	88	1	3	– 2	4
74	72	5	5	0	0

 

بتطبيق القانون أعلاه:   

دلالة معامل الارتباط:

اختبار مدى المعنوية r_s (القيمة متوسطة وليست صفر أو ±1) وعندما تكون حجم العينة أكبر من وأقل من 30 (صغيرة) نقارنها مع المحسوبة من الجدول عند α/2 وعندما تكون حجم العينة أكبر أو يساوي 30 فنوجد قيمة Z ونقارنها مع الجدولية حيث قيمة Z = قيمة معامل ارتباط الرتب مضروباً في الجذر التربيعي للعدد n – 1.

باعتبار أن المجتمع ذا البعدين X, Y والمأخوذ منه العينة من الأزواج المرتبة وبفرض أن ρ معامل ارتباط المجتمع فيكون r تقديراً للمعامل ρ. ولا بد من افتراض أن ρ = 0 لنحصل على اقتران احتمال(r) حسب النظرية:

إن جميع العينات ذات حجم n والممكنة مأخوذة من مجتمع ذي بعدين ويخضع للتوزيع المعتدل ومعامل ارتباطه  ρ = 0 ، وأن r يعبر عن معاملات ارتباطات تلك العينات فإن:

يخضع لتوزيع t بدرجات حرية n – 2 .

وفي حال ρ مجهولة فنأخذ بالنظرية التالية:

إذا أخذت عينات حجم كل منها n من مجتمع ذي بعدين وذي معامل ارتباط ρ وعرفنا الإحصاء Z كالتالي:

وهي فترة الثقة 100%(1 – α) لـ μ_z ومن جدول تحويل r إلى Z نجد فترة الثقة المطلوبة ل (ρ)

ولنبين ذلك على مثالنا هنا:

لنختبر الفرضية ρ = 0.8 على مستوى معنوية 0.05 ومن ثم نحسب فترة ثقة 95% لمعامل الارتباط ρ.

الفرض H_o : ρ ≠ 0.8     ،     H_o : ρ = 0.8  حيث α = 0.05

بالرجوع للجدول عند α = 0.05/2 , n = 10 نجد أن r_s الجدولية ( r^*_s )

 

الحل باستخدام SPSS

---

مثال آخر: نفس المثال السابق مع البيانات التالية:         الحـــل

74	92	88	65	71	88	66	70	80	73	معدل الطالب في الصف (X)
72	88	90	55	64	92	70	64	78	64	مدل الطالب في المدرسة (Y)

 

مثال آخر لحساب الدلالة وفترة الثقة                    مثال ثالث ( تقدير الأداء )

---