معامل الارتباط الخطي Linear Correlation / بيرسون

  معامل الارتباط الخطي Linear Correlation / بيرسون

    بملاحظة المتغير العشوائي ذي البعدين (x , y) بوجود ارتباط أو علاقة بين x , y فإن الهدف من دراسة الارتباط هو قياس قوة الارتباط الخطي بين المتغيرين في حين معامل الارتباط الخطي (linear Coefficient ) مقياس لقوة العلاقة الخطية بين x , y ويقيس مدى تغير y حال زيادة قيمة x فهل y  تزداد بزيادة x (ارتباط موجب) أو تنقص بزيادتها (ارتباط سالب) أو لا تتأثر بزيادة x (لا يوجد ارتباط).

    معامل الارتباط لمجموعة n من الأزواج المرتبة ( x₁ , y₁ ) , ( x₂ , y₂ ) , ... , ( x_n , y_n ) هو:

مع ملاحظة: 1) X`الوسط الحسابي للبيانات  x<sub>1</sub> ,  x<sub>2</sub> , ... , x<sub>n</sub>    و  Y`الوسط الحسابي للبيانات  y₁ ,  y₂ , ... , y_n  

                2)  S_x  الانحراف المعياري للبيانات   x₁ ,  x₂ , ... , x_n    و  S_y  الانحراف المعياري للبيانات  y₁ ,  y₂ , ... , y_n  

                3) r معامل الارتباط يعرف بمعامل ارتباط بيرسون (التتابعيي أو العزومي) للارتباط ( نسبة للعالم كارل بيرسون ).

                4) يشترط عند حساب معامل الارتباط لبيرسون أن يكون التوزيع لكلا المتغيرين اعتدالي وأن تكون العينة عشوائية وقيم الفرد لا تعتمد على قيم فرد آخر

                   (استقلالية أفراد العينة).

                   وفي حالة عدم اعتدالي المتغيرين نستخدم معامل ارتبط آخر سيذكر في حينه (معامل ارتبط سبيرمان أو كندال"تاو"

    يعتبر معامل ارتباط بيرسون من أشهر الطرق لقياس معامل الارتباط بين متغيرين نسبيين أو فئويين فيما بينهم وتوجد عدة طرق لحساب معامل ارتباط بيرسون وهي:

• باستخدام الدرجات المعيارية  r = (∑ZxZy)/n

• طريقة الانحرافات

• طريقة التغاير (S_xy)

• من البيانات الأصلية

• باستخدام الحاسب الآلي وبرنامج SPSS.

• باستخدام الحاسب الآلي وبرنامج Minitab.

    حيث S_xy يسمى معامل التغاير لحساب قوة العلاقة الخطية بين متغيرين ويمكن استخدام القانون r = Sxy / S_xS_y  لحسابه ويمكن استخدام القانون الآتي لطريقة الانحرافات. (راجع المثال للطرق الأربع) وإن مقدار التباين المشترك بين المتغيرين ينتج من تربيع قيمة معامل الارتباط والتباين المشترك Common Variance بين متغيرين يساوي مربع معامل الارتباط بينهم ويعرف بمعامل التحديد Coefficient of determination وهو مقدار التباين في أحد المتغيرين الممكن تحديده بمعرفة التباين في المتغير الآخر فإذا كان r = 0.8 فإن التباين يساوي 0.64 وهو ممكن تفسيره في حين الباقي 1– 0.64 = 0.36 جزء لا يمكن تفسيره ويعرف بالتباين العشوائي وهو يبين وجود متغيرات أخرى لم تحتسب أو لم يهتم بها ويسمى معامل عدم التحديد.

---

مثال1: أوجد معامل الارتباط بين دخل تسعة أسر (X) والإنفاق (Y) اليومي بالدينار والمبينة في الجدول الآتي:

 

X	6	8	7	14	11	12	8	9	10
Y	4	8	6	10	9	11	8	7	8

 

الحل الأول(Z)     الحل الثاني        الحل الثالث        الحل الرابع(Z)        الحل الخامس        الحل باستخدام SPSS        الحل باستخدام Minitab

 

مثال2: أضغط هنا للنص والحل            مثال 3 : أضغط هنا للنص والحل            تمرين : أضغط هنا للنص والحل           تمرين : معامل الأرتباط لجدول مزدوج

---

عوامل التحكم في معامل ارتباط بيرسون:

• أن تقع نقاط الأزواج (x , y) على خط مستقيم أو تكون قريبة جداً منه حتى تحقق صفة أن العلاقة خطية ( y = ax + b ) ويمكن ملاحظة ذلك من شكل الانتشار. إن لم تكن العلاقة خطية فستخدم معامل آخر.

• مقدار التباين فالعلاقة طردية بين الزيادة في التباين ومعامل الارتباط.

• دقة معامل الارتباط تتأثر بحجم العينة.

• شكل التوزيع وتماثله للمتغيرين يزيد من قيمة معامل الارتباط فإن كان شكلا التوزيع متماثلين فيكون r = ± 1 وإن كانا الالتواء في نفس الاتجاه كان r = 1  وإن كان الالتواء في اتجاهين متضادين (احدهم التواءه موجب والآخر سالب) كان r = – 1

    من خصائص معامل الارتباط عدم اعتماده على القيم نفسها بل على تباعدها عن بعضها، لا تتغير قيمة معامل الارتباط بالعمليات الحسابية الأربع الجمع والطرح والقسمة والضرب مع عدد ثابت بالنسبة لقيم x , y .