الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركزية
يعرف الوسيط بالقيمة المشاهدة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً. وعليه تكون عدد القيم (المفردات) قبله مساوي لعدد القيم بعده وله حالات ثلاث:
1) عدد المفردات فردي يساوي n مثلاً فيكون ترتيب الوسيط ½( n + 1 ) وقيمة الوسيط للمفردات 3، 5 ، 9 ، 11 ، 13 هي 9 (المفردات مرتبة تصاعدياً).
2) عدد المفردات زوجي فتوجد قيمين في الوسط ترتيبهم n/2 , n/2+1 والوسط الحسابي لقيمهم هو الوسيط فالمفردات 3 ، 5 ، 9 ، 11 ، 13 ، 16 فالوسيط لهذه
المفردات هو الوسط الحسابي للقيمتين (ترتيبهم 6÷2 = 3 ، (6÷2) +1=4) أي 9، 11 هو (9+11)÷2 = 10 واضح أن العدد 10 قبله 3 مفردات وبعده 3 مفردات.
3) حساب الوسيط من جدول تكراري (البيانات المبوبة) من جدول التكرار المتجمع الصاعد أو النازل أو الرسم البياني لكلاهم أو أحدهم وسنورد هنا تفصيلاً كاملاً لذلك.
حساب الوسيط من البيانات المبوبة:
سبق وأن ذكرنا كيفية تكوين الجدول التكراري المتجمع (المتراكم) الصاعد وسنرمز للوسيط بالرمز MD وللتكرار المتجمع الصاعد السابق للفئة الوسيطية CFk–1 ولتكرار الفئة الوسيطية بالرمز FRxk وللحد الأدنى للفئة الوسيطية بالرمز Lk والوسيط من الجدول التكراري المتجمع يكون (بافتراض التوزيع منتظم داخل الفئة الوسيطية:
ترتيب الوسيط – التكرار المتجمع للفئة السابقة للفئة الوسيطية
الوسيط = الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسيطية + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × طول الفئة ........ (1)
تكرار الفئة الوسيطية *
ترتيب الوسيط – التكرار المتجمع للفئة السابقة للفئة الوسيطية
الوسيط = الحد الأعلى الفعلي للفئة الوسيطية – ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × طول الفئة ........ (2)
تكرار الفئة الوسيطية *
* تكرار الفئة الوسيطية = التكرار المقابل للحد الأعلى للفئة الوسيطية – التكرار المقابل للحد الأدنى للفئة الوسيطية
مثال:
الجدول التكراري الآتي يبين بيانات أعمار i30مريض لمراجعتهم المستشفى والمطلوب حساب الوسيط بكل الطرق الممكنة.
الفئات(Interval) | 12 – 14 | 15 – 17 | 18 – 20 | 21 – 23 | 24 – 26 | 27 – 29 | Total |
التكرار(Frequency) | 8 | 4 | 7 | 6 | 2 | 3 | 30 |
الحل: الحل باستخدام SPSS
الفئات | الحدود الفعلية للفئات | التكرار ( f ) | التكرار التراكمي الصاعد ( cfu ) | التكرار التراكمي النازل ( cfd ) | cfu + cfd |
.... – 12 | ....... – 11.5 | 0 | 0 | 30 | 30 |
12 – 14 | 11.5 – 14.5 | 8 | 8 | 22 | 30 |
15 – 17 | 14.5 – 17.5 | 4 | 12 | 18 | 30 |
18 – 20 | 17.5 – 20.5 | 7 | 19 | 11 | 30 |
21 – 23 | 20.5 – 23.5 | 6 | 25 | 5 | 30 |
24 – 26 | 23.5 – 26.5 | 2 | 27 | 3 | 30 |
27 – 29 | 26.5 – 29.5 | 3 | 30 | 0 | 30 |
Total |
| 30 |
|
|
لاحظ أن الصفر في الخانة الأولى في تكرار المتجمع الصاعد ناتج من القيم التي أقل من 11.5 والقيمة 30 في تكرار المتجمع النازل ناتجة من القيم التي أكثر من 11.5وفي الغالب لا تذكر تلك القيم بل نبدأ من أول أعلى حد فعلي (14.5).
من ترتيب الوسيط (n/2) وهنا الترتيب 15 نبحث عنه في التكرار المتجمع الصاعد (أو النازل) فنجده
موجود في قيم التكرار المتجمع الصاعد وليكن الترتيب 25 مثلاً فإن الوسيط القيمة المقابلة للقيمة 25 في الحدود الفعلية للفئات أي الوسيط = 23.5
إذا كان ترتيب الوسيط 12 مثلاً فقيمة الوسيط 17.5 (الحد العلوي الفعلي المقابل للقيمة 12)
إذا كان ترتيب الوسيط 19 مثلاً فقيمة الوسيط 20.5 (الحد العلوي الفعلي المقابل للقيمة 19)
في حالة عدم وجوده كحالنا هن 15 فقيمة الوسيط تقع بين 17.5 ، 20.5 وسنبين ذلك أدناه ويكون d 20.5 > MD > 17.5
قيم التكرار في عمود المتجمع الصاعد تنتج من قولنا أقل من 11.5 لا يوجد أو صف لم تدون في الجدول لعدم الأهمية وأقل من 14.5 يوجد 8 وأقل من 17.5 يوجد 8+4 وأقل من 20.5 يوجد 8+4+7 وأقل من 23.5 يوجد 8+4+7+6 وهكذا ...
وقيم التكرار في عمود المتجمع النازل تنتج من قولنا أكثر من 14.5 يوجد 30–8=22 وأكثر من 17.5 يوجد 30–(98+4) وأكثر من 20.5 يوجد 30–(8+4+7) وأكثر من 23.5 يوجد 30–(8+4+7+6) وهكذا ... (يمكن الحصول عليه من المتجمع الصاعد بتكملة كل عدد إلى 30 مثل 8 تكمل إلى 22، 12 إلى 18، 19 إلى 11 وهكذا ...
الوسيط كما هو مبين يهتم بالقيم التي تقع حول ترتيبه (15 هنا) أي القيم التي تتوسط البيانات على عكس الوسط الحسابي الذي يأخذ بالاعتبار كل القيم.
وجود قيم شاذة أو متطرفة يجعل التوزيع غير متماثل فتختلف قيم الوسيط عن الوسط فيكون الوسط > الوسيط للقيم الشاذة الكبيرة والعكس الوسط < الوسيط حال وجود قيم شاذة صغيرة، وسنوضح ذلك لاحقاً عند دراسة المنوال.
الحل باستخدام القانون (1) أعلاه ↓ استخدام النسبة والتناسب استخدام الرسم البياني استخدام برنامج EXCEL استخدام برنامج SPSS
يجب أن نعلم بأن الفئات تمثل على المحور السيني والتكرار يمثل على المحور الصادي كما سبق ذكر ذلك فقيمة ترتيب الوسيط (15هنا) تمثل على المحور الصادي (محور التكرار) يقابلها قيمة على المحور السينات ضمن فئتها التي تقع أسفل النقطة المقابلة للترتيب والواقعة على منحنى التكرار المتجمع ومن الجدول وحيث 15 هو ترتيب الوسيط وفي عمود التكرار المتجمع (أعلاه) نجد 15 تقع بين 12 ، 19 يقابلهم 17.5 ، 20.5 كما مبين في الجدول التالي.
ترتيب الوسيط = 30 ÷ 2 = 15 (مجموع التكرار ÷ 2) فالوسيط يقع بين القيمتين 12 ، 19 أي الفئة الوسطية هي 17.5 – 20.5 أي
| 17.5 | 12 |
| Median = 17.5 + ............. | 15 |
| 20.5 | 19 |
فبتطبيق القانون أعلاه (1) نجد أن:
15–12
الوسيط = 17.5 + ــــــــــــــــــــ × 3 = 17.5 + 1.29 = 18.79
19–12
فبتطبيق القانون أعلاه (2) نجد أن:
19– 15
الوسيط = 20.5 – ــــــــــــــــــــ × 3 = 20.5 – 1.71 = 18.79
19–12
باستخدام النسبة والتناسب
وبملاحظة الجدول أعلاه نجد أن (الفئات) 20.5 – 17.5 = 3 (طول الفئة) قابلة مسافة (تجاوزاً) 19 – 12 = 7 أي لكل 3 في الفئات نحصل على 7 هنا أي لكل جزء في التكرار يقابله 3 ÷ 7 من الفئة ولكننا نريد 15 التي بينها وبين 12 مسافة 3 (أجزاء من 7) فلها من الفئات قيمة = 3 × ( 3 ÷ 7) = 9 ÷ 7 = 1.29 نضيفها على 17.5 بداية الفئة 17.5 + 1.29 = 18.79 وهي قيمة الوسيط . ماذا لو قمنا بالعكس أي قلنا 20.5 (في الفئة) يقابلها 19 (التكرار المتجمع) التي بينها وبين 15 مسافة 4 فيكون لها في الفئة قيمة (أي 4) تساوي 4 × (3 ÷ 7) = 1.71 تنقص من 20.5 أي 20.5 – 1.71= 18.79 وهو نفس الناتج ويمكن تبسيط ذلك كالتالي
15 تقع بين 12 ، 19 فنقول 7 (19– 12) لها 3 ( 20.5 – 17.5) وعددنا 15 يبعد عن 12 مسافة 3 فكم يقابله ؟ أي
7 ← 3
3 ← ؟
؟ = 3 × 3 ÷ 7= 1.29 ، يضاف لبداية الفئة 17.5 فنحصل على الوسيط = 17.5 + 1.29 = 18.79
وللتكرار المتجمع الهابط :
15 تقع بين 12 ، 19 فنقول 7 (19– 12) لها 3 ( 20.5 – 17.5) وعددنا 15 يبعد عن 19 مسافة 4 فكم يقابله ؟ أي
7 ← 3
4 ← ؟
؟ = 3 × 4 ÷ 7= 1.71 ، يطرح من نهاية الفئة الوسيطية 20.5 فنحصل على الوسيط = 20.5 – 1.71 = 18.79
يمكن ذلك برسم محورين أفقي للفئات ورأسي للتكرار المتجمع ـ ثم نعين النقاط في المستوى ( 14.5، 8)،(17.5، 12)،... ،(29.5 ، 30)
نصل بين النقاط باليد نحصل على المنحنى التكراري المتجمع الصاعد كما مبين بالشكل.
من العدد 15 (ترتيب الوسيط) نرسم مستقيماً أفقياً يقطع المنحى في نقطة م مثلاً.
من نقطة م نسقط عموداً على المحور الأفقي يلاقيه في نقطة ولتكن ب العدد عند النقطة ب هو قيمة الوسيط والقيمة هنا هي 18.8
يمكن تكرار ذلك مع المنحنى التكرار المتجمع الهابط ونصل لنفس الناتج لاحظ الشكل.
رسم المنحنيين الصاعد والنازل ومن نقطة تقاطعهم (م) نسقط العمود على المحور الأفقي (محور الفئات) لنحصل على قيمة الوسيط 18.8 ( لاحظ الشكل ).
باستخدام الحاسب الآلي: ( برنامج Excel)
بعد إدخال البيانات في ورقة EXCEL كما مبين بالشكل العمود الأول يضم الحدود الفعلية للفئات والثاني التكرار في حين العمود الثالث التكرار المتجمع
الصاعد ( من تجميع التكرار في العمود الثاني 8 ، 8+4، 8+4+7 ، ...) و العمود الرابع من الثالث مجموع قيم الصف فيهم يساوي 30 أو نبدأ من صفر مقابل 30 ثم نصعد بجمع التكرار (0، 0+3، 0+3+2، ... من التكرار).
ثم نختار رمز Chart Wizard و XY Scatter و شكل المنحنيين كما مبين هنا ثم نضغط Finish فيظهر الشكل المقابل (قمنا بتنسيق للشكل).
رسم خط من نقطة تقاطع المنحنيين على محور الفئات نجد القيمة 18.8.
يمكن رسم أحد المنحنيين (الصاعد أو الهابط) ومن نقطة نقاطع خط ترتيب الوسيط (العدد 15) مع المنحنى نسقط عمود على المحور الأفقي فتكون القراءة عنده قيمة الوسيط والتي تظهر عنا بالقيمة 18.8 كما مبين بالشكل
استخدام الحاسب الآلي ( برنامج SPSS)
ندخل البيات بالصورة المعتادة كما مبين بالشكل المقابل.
من شريط القوائم نختار Graphs (المطلوب الرسم) بالضغط عليها بالفأرة (لا حظ الشكل المقابل).
من القائمة التي ظهرت نختار Sequence بالنقر عليها بالفأرة.
من لوحة الحوار التي ظهرت نقوم بنقل Y , Z إلى صندوق Variables
ننقل X (الفئات) إلى الصندوق الذي أسفله Time Axis Labels كما مبين بالشكل الآتي:
نضغط على OK إن لم نكن في حاجة للضغط على Format لخيارات أخرى كما مبين بالشكل المقابل وهدفنا هو الحصول على كل من المنحنى المتجمع الصاعد والمنحنى المتجمع النازل كما يظهر بالشكل. برنامج SPSS يظهر الرسم أدناه بدون وجود الخط الأفقي الواصل من العدد 15 لنقطة تقاطع المنحنيين وكذلك الخط الرأسي والعدد 18.8حيث قمنا بإضافتهم للتعرف على الوسيط وكيفية إيجاده من الرسم.
